Calculul întrefierului unui transformator

Fig. 1.2 Construirea curbei reale a curentului de mers în gol în transformator

Producătorii de materiale magnetice (tole, ferite, etc.) testează şi indică valorile maximale absolute ale ciclului de histerezis, pe care le garantează în condiţiuni normale de utilizare. Limitele superioară şi inferioară ale inducţiei acestui ciclu maximal absolut, mai poartă şi numele de inducţie de saturaţie. Aceste valori nu este recomandabil a fi atinse în practică. Fiecărei amplitudini a inducţiei Bm alese în miez pentru o aplicaţie, îi corespunde un ciclu de histerezis unic, care se poate determina, folosind datele furnizate de producătorul materialului magnetic în urma unui calcul, de factură numerică sau grafică.

In figura 1.2, s-a reprezentat în mod intenționat cazul în care variaţia sinusoidală a inducţiei electromagnetice în miez, atinge valorile de saturație. Se poate deci constata, cât de deformat va fi curentul de mers în gol, față de forma sinusoidală. în cazul în care inducţia în miez va depăși valoarea de saturație, curentul de mers în gol nu va mai fi o curba ȋnchisă, ci va exista o porțiune în care frontul crescător va creste la infinit, în timp ce frontul descrescător, va descreste de la infinit. Acest regim fiind unul deosebit de periculos pentru dispozitivul electromagnetic (transformator) şi circuitele aferente. Iată deci motivul pentru care la proiectarea transformatoarelor se alege în mod adecvat mărimea maximum admisibilă a inducţiei în miez.

(2.2)

(2.7)

Experienţa arata ca µ_rech, este mai mic decât µ_r şi în consecinţa inducţia electromagnetică în miez, nu va mai atinge valoarea de saturaţie şi deci transformatorul cu întrefier se poate utiliza la valori mai mari ale intensităţii câmpului magnetic produs de un curent continuu prin bobina primara. Grafic, ciclurile de histerezis ale miezului fără întrefier, comparativ cu miezul cu întrefier sunt reprezentate în figura 2.1. Rezultă că efectul întrefierului, este un nou ciclu de histerezis alungit după directia axei OH. în figura 2.1, s-a reprezentat haşurat ciclul de histerezis parcurs în cele două cazuri de un transformator în comutaţie unipolară.

In figura 2.2 sunt ilustrate cele patru cazuri mai des intalnite de utilizare a întrefierului, la miezurile EI, şi la miezurile UI (CC, LL, etc). Se poate observa că practic calculul se poate adapta cazului a, sau b cu un singur întrefier, sau cazurilor c şi d cu două întrefieruri şi deci lungimea acestora se înjumătăţeşte.

Din punctul de vedere al materialelor magnetice, se diferentiază două cazuri:

1.   Transformator cu miez electromagnetic format din tole;

2.   Transformator cu miez din ferită.

Pentru primul caz, mai rar intalnit în practică – de obicei la transformatoarele de ieşire ale amplificatoarelor electronice de putere – se vor folosi diagramele din figurile 2.3, 2.4 şi 2.5 adaptate după [1], sau valorile discrete din tabelele 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 2.5 şi 2.6.

La bobinele cu miez feromagnetic – spre exemplu cele pentru filtrele curentului redresat – dimensionarea miezului, se poate face odata cu cea a întrefierului.Calculul se va face dupa:

Algoritmul 2.1

1.   Se cunoaşte inductanţa L şi se calculează expresia LI₀², care are dimensiunea unei energii (energia de magnetizare a miezului) cu relaţia:

      (2.8)

2.      Se determină din graficul din figura 2.3, sau din tabelele 2.1 şi 2.2 masa M_Fe a miezului corespunzătoare energiei de magnetizare W₀;

3.      Se alege o tolă EI sau UI (CC, LL, etc) şi se determină numărul N de tole, împarţind masa M_Fe, la masa unei tole care se gaseşte în ultimele două coloane ale tabelelor 2.7 şi 2.8, în funcţie de grosimea aleasă (0,35 sau 0,5 mm). Se determină dimensiunea b₀ a miezului, înmulţind numărul N de tole cu grosimea unei tole. dacă b₀ este mai mic decât dimensiunea 2a₀ a coloanei, în cazul tolelor EI, sau dimensiunea c₀ în cazul tolelor UI sau LL, atunci se va alege un format de tolă mai mic. dacă insa b₀ este mai mare decât 4a₀ (dublul dimensiunii coloanei) în cazul tolelor EI, sau 2c₀ în cazul tolelor UI, sau LL, atunci se va alege un format de tolă mai mare.

4.  Se determină aria suprafeţei transversale a miezului, înmulţind dimensiunea b₀, cu dimensiunea 2a₀ a coloanei, în cazul tolelor EI, sau cu dimensiunea c₀, în cazul tolelor UI sau LL;

5.      Se determină din diagrama din figura 2.4, sau din tabelele 2.3 şi 2.4, o valoare µ_rech, în funcţie de valoarea energiei de magnetizare, determinată la punctul 1.

6.      Se (re)calculează numărul de spire cu relaţia (2.7);

7.      Se determină valoarea lui H₀ din relaţia (2.6);

8.    Se determină o noua valoare µ_rech din graficul din figura 2.5, sau din tabelele 2.5 şi 2.6. Dacă este satisfăcută relaţia:

     (2.9)

atunci calculul se consideră încheiat. Dacă nu, atunci se reia algoritmul începând de la punctul 6, până când este satisfăcută inegalitatea (2.9).

9.      în final se calculează valoarea lungimii (grosimii) întrefierului exprimat în aceiaşi  unitate de măsură (spre exemplu în mm) din relaţia:

     (2.10)

Fig. 2.2 -  Transformatoare cu ȋntrefier

Fig. 2.3 - Energia de magnetizare, funcţie de masa miezului magnetic

Unde µ_i este valoarea permeabilităţii magnetice initiale a miezului. Pentru aliajele electrotehnice româneşti pe bază de siliciu, se va lua µ_i = 500. Pentru aliaje electrotehnice pe bază de nichel, se poate lua µ_i = 900.

Rezultatul corespunde cazurilor din figura 2.2a şi 22b. Pentru cazul din figurile 2.2c şi 2.2d, rezultatul se împarte la 2.

    Pentru determinarea întrefierului în cazul unui transformator – spre deosebire de cazul bobinelor cu miez – trebuie ţinut cont ca acesta a fost predimensionat, iar parametrii săi nu mai pot fi modificaţi. în cazul transformatoarelor, de obicei inductanţa primarului nu este cunoscută, sau este adoptata din cu totul alte considerente, cum ar fi cazul transformatoarelor de ieşire a amplificatoarelor şi/sau radioreceptoarelor cu tuburi cu vid, sau a celor pentru sursele în comutaţie de tipul Flyback.

Tab. 2.1  Energia de magnetizare, funcţie de masa miezului pentru curba II din Fig. 2.3

Tab. 2.2  Energia de magnetizare, funcţie de masa miezului pentru curba I din Fig. 2.3

Fig 2.5  Permeabilitatea relativă a miezurilor din tole, funcţie de câmpul magnetic H

Tab. 2.4  Permeabilitatea relativă, funcţie de energia de magnetizare, la aliaje FeNi

Fig. 2.6 – Miezuri din tole    a – de tip EI;   b – de tip UI (LL)

Tab. 2.7  Unele caracteristici ale tolelor în manta (EI)

In ceea ce priveşte bobinele şi transformatoarele cu miezuri din ferită, analizând puţin lucrurile, se poate constata că liniile de câmp magnetic sunt evazate în zona întrefierului. Rezultă că suprafaţa străpunsă de liniile de forţă în zona întrefierului, va fi variabilă şi puţin mai mare decât suprafaţa transversală a miezului magnetic S. în practică, ea se va echivala cu o arie constantă, calculată din condiţia de invariaţie a volumului închis de conturul liniilor de câmp magnetic, limitat de cele două suprafete libere ale miezului.

Tab. 2.8  Unele caracteristici ale tolelor în coloane (UI şi LL)

Din relaţia (2.11’) rezultă imediat relaţia

Tab. 2.10 – Variante constructive ale miezurilor toroidale cu întrefier Ferroxcube.

Fig. 2.8 – Miezuri toroidale din ferită

Fig. 2.9 – variaţia mărimii LI₀², funcţie de A_L la toroizii specificaţi în tab. 2.9

5.      Se calculează produsul wI₀ şi se verifică din figurile 2.10 ... 2.15, sau prin interpolare din tabelele 2.12 ... 2.17, ca valoarea lui să nu fie în zona de saturaţie a miezului;

6.      Se verifică încadrarea bobinajului în fereaestra miezului;

7.      Se reia calculul de la pasul 2, dacă bobinajul nu încape în fereastră, sau dacă valoarea wI₀ este în zona de saturaţie (porţiunea descrescătoare a curbei) prin alegerea unui miez mai mare şi a unei variante unde se încadrează A_L;

8.      In final, folosind graficele specifice din lucrarea [4] se calculează inducţia maximă, pierderile specifice, precum şi temperatura optimă de lucru a miezului, cunoscând frecvenţa – calcul care nu face obiectul acestui articol.

Pentru interpolarea manuală a datelor tabelate, înlocuim schemele logice de interpolare cu exces de limbaj, greu de utilizat, cu un tabel de date intuitiv, prezentat în tabelul 2.18. în tabel s-au făcut următoarele notaţii:

·         x – valoarea variabilei, pentru care întocmim interpolarea – spre exemplu masa;

M_Fe = 0,208 kg;

·         x_1apl – limita din stânga a intervalului aplicabil al variabilei – spre exemplu M_Fe1 = 0,154 kg;

·         x_2apl – limita din dreapta a intervalului aplicabil al variabilei – spre exemplu M_Fe2 = 0,231 kg;

·         y – valoarea căutată a funcţiei – spre exemplu, energia de magnetizare W₀;

Tab. 2.18 – Tabel intuitiv pentru efectuarea unei interpolări simple.

·         y_1apl – limita din stânga a intervalului aplicabil al funcţiei (mărimea de determinat) – spre exemplu W₀₁ = 0,025 J;

·         y_2apl – limita din dreapta a intervalului aplicabil al funcţiei (mărimea de determinat) – spre exemplu W₀ = 0, 05 J;

·         δy – variaţia funcţiei, corespunzătoare variaţiei x – x_1apl a variabilei.

În casetele colorate diferit din tabel, se înscriu de fapt rezultatele operaţiilor desemnate de relaţiile din acele casete ale figurii 2.18, cu semnul rezultat din calcul. În principiu, prima etapa a interpolării se reduce la determinarea celei de-a 4-a proporţionale, prin înmulţirea conţinuturilor casetelor bleu şi împărţirea la conţinutul casetei aurii – vezi expresia lui δy înscrisă în tabel. Se va ţine cont de toate semnele rezultate din calcul. Etapa a doua, este calculul mărimii căutate pe baza relaţiei din tabel, ţinând cont de asemenea de semne. Practic se vor aduna conţinuturile casetelor cu fundal verde. Pentru ilustrare, iată mai jos cum arata tabelul de interpolare folosind datele exempificate.

Cei care vor folosi tabelul de mai sus în Excel, au avantajul efectuării calculelor în mod automat, în baza relaţiilor de calcul, care vor fi programate.

3.     Sa trecem la practică.

Exemplul 1: Considerăm cazul unei bobine pentru filtrarea tensiunii continue redresate pentru un montaj cu tuburi electronice cu vid. Avem următorul set de valori cunoscute:

·         L = 2 H;

·         I₀ = 0,1 A;

Se aplică algoritmul 2.1. Avem:

1.      Se determină cu relaţia (2.8) energia de magnetizare a miezului:

W₀  = 2∙0.1² = 0,02 J.

2.      Se determină din tabelul 2.2, valoarea masei totale a miezului în funcţie de valoarea energiei de magnetizare, determinată la punctul 1. Tabelul de interpolare este:

3.      Se alege din tab. 2.7, o tolă de tipul EI10, cu grosimea de 0,35 mm, având l_m = 11,14 cm = 0.1114 m şi o masă de 4,95 g = 0,00495 kg. Numărul de tole, este  buc – s-a aproximat la cel mai apropiat întreg. Grosimea pachetului de tole va fi  mm. Dimensiunea b₀, fiind mai mică decât e₀ = 2a₀ = 20 mm, rezultă ca tola ete prea mare. Realegem din tab. 2.7,  o tolă de tipul EI8, cu grosimea de 0,35 mm, având l_m = 8,81 cm = 0.0881 m şi o masă de 3,08 g = 0,00308 kg. Numărul de tole recalculat, este  buc. Grosimea pachetului de tole va fi  mm. Dimensiunea b₀, fiind mai mică decât e₀ = 2a₀ = 16 mm, rezultă ca tola ete în continuare mare. Realegem din tab. 2.7,  o tolă de tipul EI6.4, cu grosimea de 0,35 mm, având l_m = 7,13 cm = 0.0713 m şi o masa de 2,128 g = 0,002128 kg. Numărul de tole recalculat, este  buc. Grosimea pachetului de tole va fi  mm. Dimensiunea b₀, va fi deci mai mare decât e₀ = 2a₀ = 12,8 mm, dar mai mică decât 2e₀ = 4a₀ = 25,6 mm şi corespunde deci scopului urmărit;

4.      Aria secţiunii miezului, va fi deci S = 2a₀b₀ =  12,8∙14,35∙10^-6 = 0,000184 m²;

5.      Se determină din tabelul 2.3, o valoare µ_rech, în funcţie de valoarea energiei de magnetizare, determinată la pasul 1. Aceasta va fi µ_rech = 263.

6.      Se calculează numărul de spire cu relaţia (2.7):

7.      Se determină valoarea lui H₀ din relaţia (2.6):

8.      Se determină din tabelul 2.5, o noua valoare µ_rech, în funcţie de valoarea lui H₀, determinată la punctul 4. Tabelul de interpolare este:

Avem: 263/168,2 = 1,564 > 1,2, şi deci relaţia (2.9) nu este satisfcăută.

Reluam deci algoritmul de la pasul 6 şi avem:

6.      Se calculează numărul de spire cu relaţia (2.7):

7.      Se determină valoarea lui H₀ din relaţia (2.6)

8.      Se determină din tabelul 2.5, o noua valoare µ_rech, în funcţie de valoarea lui H₀, determinată la punctul 4. Tabelul de interpolare este:

Efectuăm ultimul punct al algoritmului şi anume calculăm valoarea întrefierului. Avem:

9.      Se calculează valoarea lungimii (grosimii) întrefierului exprimat  în mm:

In concluzie, se poate utiliza ca întrefier, fie o combinaţie de table de aluminiu, fie o combinaţie de preşpan, totalizând aproximativ 0,35 mm.

Exemplul 2: Considerăm cazul unui transformator de ieşire pentru un etaj de putere „single end” (SE) cu tuburi electronice cu vid. Calculul parametrilor transformatorului indică următorul set de valori cunoscute:

·         L₁ = 7,14 H;

·         w₁ = 4175 – număr de spire precalculat

·         I₀ = 0,035 A;

·         Tole de tipul EI10, cu l_m=11,14 cm =0,1114 (din tab. 2.7);

·         S = 2,92 cm² = 0,000292 m² – aria secţiunii miezului magnetic.

Conform algoritmului 2, procedura de calcul este:

1.      Se cunoaşte inductanţa L₁ a primarului, din calculul de dimensionare al transformatorului. Se calculează energia de magnetizare a miezului cu relaţia (2.8’):

2.      Se determină din tabelul 2.3, o valoare µ_rech, în funcţie de valoarea energiei de magnetizare, determinată la punctul 1. Tabelul de interpolare este:

3.      Se determină valoarea lui H₀:

Avem: 284,4/269,1 = 1,057 < 1,2 , şi deci relaţia (2.9) este satisfăcută.

5.      Avem µ_i = 500. Calculăm cu relaţia (2.10) valoarea în mm a întrefierului.

In concluzie, deşi s-a păstrat valoarea inductanţei L₁, prin folosirea întrefierului, numărul de spire s-a micşorat ceea ce este avantajos. Ca întrefier se poate utiliza un strat dintr-o tablă de aluminiu cu grosimea de 0,19 mm. Sau se pot utiliza mai multe straturi din folie de aluminiu de uz alimentar. Se poate de asemenea utiliza unul sau mai multe straturi din preşpan totalizând grosimea de 0,19 mm. în toate cazurile pachetul de „I”-uri se va rigidiza prin utilizarea unei rame de fixare din tablă de aluminiu de 1 mm grosime, precum şi prin imersie în lac de bobinaj şi uscarea intr-un cuptor, timp de cateva ore la o temperatura constanta de aproximativ 80 ⁰C.

Exemplul 3: Considerăm cazul unui transformator Flyback pentru o sursă în comutaţie – exemplu preluat din lucrarea [3]. Calculul parametrilor transformatorului indică următorul set de valori cunoscute:

·         L₁ = 81,75x10^-6 H;

·         Tipul miezului: Ferroxcube E25/10/6, având dimensiunile C₀ = D₀ = 6,35 mm = 6,35x10^-3 m şi F₀ = 6,4 mm = 6,4x10^-3;

·         S = 37 mm² = 37x10^-6 m² – aria secţiunii miezului magnetic;

·         w₁ = 18 spire.

Conform algoritmului 2.3, avem:

1.      Se calculează prima valoare a întrefierului din relaţia (2.12) folosind valoarea S a secţiunii miezului în locul valorii S_i

2.      Folosind valoarea l_i calculată la punctul 1, se calculează valoarea S_i, folosind relaţia (2.13)

3.      Se calculează o noua valoare a întrefierului din relaţia (2.12) introducând în calcul şi valoarea calculată la punctul 2. Se reia ciclul paşilor 2 şi 3 de un număr de 3...5 ori.

Facem a 2-a iteraţie a secvenţei paşilor 2 şi 3. Avem:

Facem a 3-a iteraţie a secvenţei paşilor 2 şi 3. Avem:

Deoarece valoarea lui l_i nu s-a mai modificat esenţial, ne oprim cu iteraţiile la acestea trei.

2.      Din catalogul Ferroxcube, se constată că miezul dorit se produce pentru cazul din figura 2.2b, cu un întrefier de 0,21 mm. În funcţie de frecvenţa şi temperatura de regim se va opta între tipurile de ferită 3C81, 3C90, sau 3F3. dacă alegem o construcţie de tipul celei din figura 2.2d vom utiliza un întrefier având jumatate din valoarea calculată, adică de aproximativ 0,1 mm. Vom utiliza ca întrefier, o bucată de tablă de aluminiu cu grosimea de 0,1 mm, sau o bucată de preşpan de aceiaşi grosime.

Exemplul 4: Considerăm acelaşi transformator de la exemplul 3, dar în locul relaţiei (2.13) vom folosi relaţia (2.13ms).

1.      Se calculează prima valoare a întrefierului din relaţia (2.12) folosind valoarea S a secţiunii miezului în locul valorii S_i

2.      Folosind valoarea l_i calculată la punctul 1, se calculează valoarea S_i, folosind relaţia (2.13)

3.      Se calculează o noua valoare a întrefierului din relaţia (2.12) introducând în calcul şi valoarea calculată la punctul 2. Se reia ciclul paşilor 2 şi 3 de un număr de 3...5 ori.

4.      Este valabil punctul 4 de la exemplul precedent.

Exemplul 5: Considerăm aceleasi date de predimensionare ca la transformatorul de la exemplul 3, dar cu folosirea unui miez de tipul EP17, având o secţiune rotundă cu diametrul D = 5,7 mm = 5,7x10^-3 m şi o arie S = 33,4 mm² = 3,34x10^-5 m².

1.      Se calculează prima valoare a întrefierului din relaţia (2.12) folosind valoarea S a secţiunii miezului în locul valorii S_i

2.      Folosind valoarea l_i calculată la punctul 1, se calculează valoarea S_i, folosind relaţia (2.13)

3.      Se calculează o noua valoare a întrefierului din relaţia (2.12) introducând în calcul şi valoarea calculată la punctul 2. Se reia ciclul paşilor 2 şi 3 de un număr de 3...5 ori.

Deoarece valoarea lui l_i nu s-a mai modificat esenţial, ne oprim cu iteraţiile la acestea trei.

4.      Este valabil punctul 4 de la exemplul precedent.

Exemplul 6: Considerăm cazul unei bobine de filtrare pentru o sursă în comutaţie, pentru care se doreste utilizarea unui miez toroidal cu întrefier. Parametrii calculului sunt:

·         Curentul de magnetizare I₀ = 15 A

·         Inductanţa necesara filtrului L = 5 µH = 5000 nH

1.      Se determină cu relaţia (2.8) energia de magnetizare necesara miezului de ferită:

W₀ = 5∙10^-6∙15² = 0,001125 J = 1125 µJ

2.      Se preliminează utilizând fig. 2.9, tipul de miez TN20/10/6.4 ca fiind cel mai mic utilizabil.

3.      Se determină din tabelul 2.11 inductanţa specifică A_L, corespunzătoare energiei de magnetizare W₀. Tabelul de interpolare este folosit aici pentru extrapolare:

4.      Se calculează numărul de spire cu relaţia:

5.      Avem produsul wI₀ = 120 amperspire. Din figura 2.13 se vede ca singura variantă viabilă ar putea fi TN20/6.4-3C20-A65 şi se verifică din tabelul 2.15 ca A_L = 64,8 nH @ 65 nH;

6.      Cu o densitate de curent J = 2 A/mm², rezultă un conductor cu diametrul de 3 mm. Lungimea unui strat de 8 spire bobinate cu acest conductor este de 24 mm, mai mic decât lungimea cercului interior toroidului, pe care ar fi dispuse şi care are 31,4 mm. Se alege bobinarea intr-un singur strat uniform distribuit pe circumferinta toroidului.

4.     Un alt fel de practică

Chiar şi hobby-ist fiind, este imposibil să nu vrei ca dispozitivele realizate de tine, să nu fie de cea mai buna calitate şi precizie. Hai să facem un exercitiu suplimentar şi să recalculăm inductanţa reala L’ a bobinei cu miez magnetic cu întrefier calculată la primul exemplu. Introducând suprafaţa S în cm², lungimea l_m în cm şi ţinând cont de transformarile de unitati de măsură, vom avea:

Se observă ca valoarea recalculată diferă cu aproape 15%  de cea dorită. Există aplicaţii în care o asemenea toleranţa, nu se poate admite. Ca să obţinem o valoare mai precisă a inductanţei, membrul doi al inegalităţii (2.9) trebuie micşorat. Să presupunem că facem acest membru egal cu 1,1. Vom observa că reluând calculul, avem nevoie de o iteraţie în plus – trei în loc de două – pentru determinarea datelor necesare. în schimb vom obtine: l_i = 0,362 mm, µ_rech = 141,4 şi w₁ = 2052 spire. Recalculăm din nou valoarea inductanţei şi avem:

Această noua valoare, diferă de cea dorită cu aproximativ 3,8%. Incercând în acest fel să vedem pentru ce valoare a membrului doi al inegalităţii (2.9) obţinem aproximativ valoarea dorită de noi, vom vedea ca aceasta este de 1,0002 şi avem nevoie, de nu mai puţin decât 8 iteraţii precum cele din exemplul 1, pentru definirea parametrilor necesari. Cei care vor avea rabdare să duca corect până la capăt cele 8 iteraţii, vor vedea ca rezultatul obţinut, rasplateşte efortul. Avem: l_i = 0,369 mm; µ_rech = 139,3; w₁ = 2106 spire şi deci:

Mergând mai departe cu a 9-a şi eventual a 10-a iteraţie, vom vedea că deşi membrul drept al inegalităţii (2.9) se apropie din ce în ce mai mult de unitate, totusi mărimile l_i, µ_rech şi µ_rech nu mai diferă faţă de calculul precedent şi deci un efort suplimentar, peste cele 8 iteraţii, nu mai este justificat. Bun! Dar timpul pierdut cu repetarea de 8 ori a algoritmului de calcul, tinde să dureze cateva ore bune, dacă calculul se face utilizând de exemplu un calculator de buzunar. Ce-i de făcut în acest caz?

Răspunsul la întrebarea de mai sus, este proiectarea asistata de computer. Se pot adopta o multitudine de solutii. în acest articol se va ilustra doar utilizarea la calculul întrefierului şi al mai multor parametri ai transformatorului sau bobinei cu miez, al unui program de Computer Aided Design (CAD) denumit MathCAD. Testele au fost făcute cu varianta MathCAD  14.  Este  de  fapt un amplu program pentru programarea şi executarea automată a relaţiilor matematice. În figura 4.1, a fost reprezentată foaia de lucru a unui program MathCAD.  Din  motive  de  spatiu şi lizibilitate,  meniurile  şi  barele  de unelte ale programului nu au fost reprezentate.

Editarea şi programarea relaţiilor în MathCAD, se face simplu, ca şi când s-ar scrie pe un caiet, relaţii matematice. Programul citeste, analizează şi execută aceste relaţii într-un mod familiar oricui. De la stânga la dreapta şi de sus în jos. Comenzile sunt simple şi pot fi întelese foarte uşor de catre cei familiarizati cu matematica. Programul realizat pentru rezolvarea problemelor de tipul celei din exemplul 1, poate realiza în mod integrat toţi paşii prezentaţi în algoritmul de la paginile 6...8, inclusiv analiza şi alegerea formatului de tolă necesar bobinelor cu miez electromagnetic cu tole EI.

Din fig. 4.1 se vede ca programul este structurat pe trei zone.

In prima zonă se văd niste casete încadrate, pe fundal verde. Ele reprezintă interfaţa necesară introducerii datelor de intrare. Acestea sunt introduse prin modificarea numărului din membrul drept al relaţiei de corespondentă, afişata de fiecare casetă.

Cea de a 2-a zonă, este reprezentată în foia de lucru MathCAD de acea linie orizontala având în stânga un semn specific, şi întreruptă de un text. Aceasta este de fapt o „arie de calcul MathCAD” închisă, conţinând date şi relaţii diverse pentru procesarea acestora. Cu un dublu click pe linie, aria se deschide lăsând să se vadă conţinutul ei. Acesta este reprezentat în figura 4.2.

Comanda ORIGIN:=1 care este poziţionată în fruntea calculului, în partea din stânga sus, face ca numerotarea liniilor şi coloanelor unei matrice să înceapă cu 1. Programul este setat în mod normal, astfel încât acest index să înceapă cu 0. Tot în fruntea calculului, în partea dreaptă este stabilită valoarea permeabilităţii vidului. Urmează patru mărimi matriceale introduse tabelar W_FeSi, W_FeNi, H_FeSi şi H_FeNi, restrânse pentru economie de spaţiu, astfel încât rămân vizibile doar elementele primelor două linii şi primelor două coloane. Acestea nu sunt altceva decât respectiv tabelele 2.3, 2.4, 2.5 şi 2.6, dar în care cele două linii de date numerice, au fost transpuse în două coloane. Sub fiecare dintre aceste patru mărimi matriceale, se vad câte trei relaţii, folosite în interpolarea liniara automată a datelor din tabele. Astfel, sub prima relaţie matriceala (W_FeSi) există pe următorul nivel relaţiile X₁ := W_FeSi^‹1›  şi Y₁ := W_FeSi^‹2›. Prima face din coloana a 1-a a matricei W_FeSi, o matrice coloana (vector) în timp ce a doua face acelaşi lucru din cea de a 2-a coloană a aceleiaşi matrice. Relaţia de pe următorul nivel μ_rWsi(x) := linterp(X₁,Y₁,x) este o funcţie de sistem, care face interpolarea variabilei x între vectorii X₁ şi Y₁. Toate celelalte matrice tabelare sunt însoţite de relaţii de calcul similare.

Funcţiile µ_H(x) şi µ_W(x), definite ca în figura 4.2, sunt funcţii de decizie, a caror valoare depinde de mărimea de intrare mat (de la „material”) definită în cea de a 2-a casetă verde. dacă (if) avem mat := ″FeSi″ atunci vom avea corespondenţele μ_H(x) := μ_rHsi(x) şi respectiv μ_W(x) := μ_rWsi(x). În oricare alt caz (otherwise) vom avea corespondenţele μ_H(x) := μ_rHni(x) şi respectiv μ_W(x) := μ_rWni(x). Matricea tabelară M, este de fapt un tabel, continând cumulat tabelele 2.1 şi 2.2 din text, la care s-au transpus de asemenea liniile în coloane. Ea permite calculul prin interpolare al masei miezului fero-magnetic în funcţie de energia de magnetizare a acestuia.

Urmează un text subliniat de culoare albastra şi capul tabelului 2.7 din text, importat în MathCAD doar ca poză. Ele sunt doar elemente ajutatoare (de editare) şi nu participă la calculul propriu-zis.

Matricea tabelara EI, reprezintă de fapt tabelul 2.7 din text, la care însă nu s-au mai transpus liniile în coloane. Această matrice, furnizează o serie de date relaţiei programabile, încadrată pe fundal galben. în final s-a programat relaţia de decizie pentru valoarea permeabilităţii initiale µ_i, care are valoarea 500 dacă (if) mat := ″FeSi″ şi valoarea 900 în oricare (otherwise) alt caz.

Cea de a 3-a zonă, este reprezentată în foia de lucru MathCAD de relaţia programabilă incadrată pe fundal galben. Această zonă, este totodată şi cea de afişare a rezultatelor. Acestea sunt afişate matriceal.

În partea din stânga sus a relaţiei programabile de calcul figurează în stânga semnului „:=” matricea de simboluri atribuite diferitelor mărimi. În afara celor explicitate în text, mai avem în plus două mărimi:

-          Tola – marime de tip „string” (diferită de mărimea de intrare tola) care furnizeaza calculului, codul standardizat al tolei, în timp ce mărimea tola := ″EI″  – tot de tip string – este necesară doar pentru cazul când programul ar fi fost destinat şi tolelor de tip „coloane”;

-          cont – marime numerică, care ne indică de câte ori este parcursă partea ciclica a algoritmului 2.1.

În interiorul relaţiei programabile, mai sunt folosite şi alte simboluri şi funcţii, definite local, doar în scopul parcurgerii unor paşi de calcul intermediari. Acestea nu vor mai fi specificate.

În partea din dreapta sus a relaţiei programabile, după semnul „=” se pot remarca rezultatele numerice propriu-zise, scrise într-o matrice tabelară. Ele corespund în ordine, mărimilor simbolizate în matricea din stânga.

Este doar unul dintre modurile de afişare a rezultatelor calculului. Un alt mod, este prezentat în figura 4.3. Aici relaţia programabilă încadrată pe fond galben, a fost trecută în aria de calcul descrisă mai sus şi a dispărut în mod evident din vederea utilizatorului în momentul în care aria a fost închisă. în locul ei apare matricea rezultatelor, încadrată pe fond bleu.

Atât în prima variantă prezentata în fig. 4.1, cât şi în cea din fig. 4.3, apare expresia programabilă a calculului care ne dă valoarea reala, L’ a inductanţei bobinei cu miez fero-magnetic.

Atât în prima variantă prezentata în fig. 4.1, cât şi în cea din fig. 4.3, apare expresia programabilă a calculului care ne dă valoarea reala, L’ a inductanţei bobinei cu miez fero-magnetic.

În fig. 4.1 (undeva pe la mijlocul relaţiei programabile de calcul) se poate vedea relaţia (2.9) scrisă sub forma:

Unde µ şi µ’, sunt simbolurile definite local pentru mărimile ce apar în relaţia (2.9). Pentru eficientizarea calculului, precum şi pentru economie (vizibilă) de spaţiu în planul foii de lucru MathCAD, valoarea numerică din membrul drept a relaţiei (2.9) a fost simbolizată prin r_2.9 şi introdusă în prima zonă a calculului ca marime de intrare (aparenta) şi în fig 4.3. În acest fel s-a putut obtine figura ilustrativa 4.4, în care se vede ca pentru o valoare r_2.9 := 1.0002 s-a obţinut după un număr cont = 8 iteraţii, o valoare foarte apropiată de 2 H.

Micile diferenţe de valori numerice între cele din figurile ilustrative şi cele din exemplul 1, se datorează faptului că aici s-a folosit un calculator de buzunar şi s-au făcut aproximari succesive, în timp ce programul în MathCAD a folosit precizia maximă, la care a fost setat.

Chiar dacă cei mai multi nu înteleg că acest mod de abordare al problemei constituie „un altfel de practică”, poate se vor mai gândi la această definiţie, atunci când vor pune în balanţă cele cateva ore necesare procesării celor 8 iteraţii ale calculului, în modul aratat în exemplul 1 şi cele doar cateva fracţiuni de minut, necesare setarii datelor de intrare şi afişării rezultatelor calculului în MathCAD.

Se poate adăuga, că programul a fost prevăzut şi cu posibilitatea introducerii în calcul a unei alte grosimi δ, a tolelor utilizate. Interpolarea masei tolei având Această grosime, se realizează automat. Programul nu a fost prevazut şi pentru tole de tip „coloane”, însa se poate realiza acest lucru, cu unele modificari.

în figura 4.4 este reprezentat un print-screen cu rezultatele de acurateţe şi precizie maximă, obţinut în 8 iteraţii ale algoritmului 1. în figura 4.5 este reprezentata relaţia programatică de calcul pentru exemplul 2. Iar în figura 4.6, rezultatele pentru o valoare numerică de referinţă r_2.9 := 1.0002 şi cele 5 iteraţii necesare ale algoritmului 2.2.

Ca diferenţe, se remarcă faptul că la interfaţa de introducere a datelor, în caseta tola := ″EI10″se introduce direct simbolul standardizat al tolelor utilizate. În plus apare o caseta S := 2.92 în care se introduce aria secţiunii miezului. Aceste diferenţe provin de la faptul ca la un transformator, s-a făcut iniţial o predimensionare, iar tipul tolei şi aria secţiunii miezului, sunt deja stabilite.

Aria de calcul pentru „interpolări şi procesări auxiliare” este identica celei din fig. 4.2 pentru exemplul 1.

Acest program de calcul, este bine a se combina cu cel de predimensionare al transformatorului, astfel încât să se poata realiza în mod integrat şi un calcul pentru verificarea încadrării în fereastră a înfăsurării primare şi a înfăsurărilor secundare. Acest program nu face însă, obiectul prezentului articol.

In figura 4.7, s-a reprezentat Programul întocmit pentru exemplul 3. Se remarcă faptul că relaţia programabilă este mult mai simplă şi s-a făcut de fapt în jurul relaţiei (2.13). Atâta timp cât această relaţie este una empirică universal recomandată, nu se pot face aprecieri asupra acurateţii şi preciziei calculului, decât eventual între rezultatele reieşite din calcul şi cele măsurate cu aparatură specializată. În figura 4.7, se vede la partea superioară şi o parte din interfaţa cu meniuri şi barele de unelte ale programului MathCAD 14. Aria de calcul auxiliar, a fost reprezentată deschisă şi ea nu conţine calcule de interpolare, ci doar reconvertirile unitaţilor de măsură liniare, în care au fost introduse mărimile de intrare  în metri, sau metri pătraţi după caz.

Fig. 4.8 – Programul pentru exemplul 4

În fig. 4.8, s-a reprezentat programul întocmit pentru exemplul 4, iar în fig. 4.9, pentru exemplul 5, care sunt foarte asemănătoare ca implementare în MathCAD, cu cel din fig. 4.7.

In figura 4.10, este ilustrat modul de programare a celulelor tabelului pentru interpolarea datelor în EXCEL, pentru cei care din motive diverse, nu vor folosi calculul în MatCAD.

Utilizarea acestui tabel, reduce (nu foarte mult însă) timpul de calcul pentru o iteraţie. Trebuie să ţinem cont de avertismentul, că doar programarea în MathCAD va duce la uşurarea evidentă a calculelor. Orice altă metoda s-ar alege, este însoţită într-o proporţie mai mică sau mai mare de riscul de a obţine rezultate eronate şi de a pierde un timp important prin calculul iteraţiilor multiple. În fig. 4.10, fiecare din cele şase poziţii reprezentate grupat, indică relaţia de calcul programată pentru celula evidentiată. Am presupus că utilizatorul, are un exerciţiu minimal în ceea ce priveşte calculul în EXCEL.

Articol realizat de ing. Nicolae Olaru

Bibliografie:

1.     V. Bruskin – Nomograme Pentru Radioamatori, Oradea, editura Crişana 1973.

2.      Lloyd H. Dixon – Transformer and Inductor Design for Optimum Circuit Performance, Texas Instruments Incorporated.

3.      Michele Sclocchi (Application Engineer) – SWITCHING POWER SUPPLY DESIGN: CONTINUOUS MODE FLYBACK CONVERTER, National Semiconductor.

4.      FERROXCUBE – Gapped ferrite toroids for power inductors.