Calculul parametrilor curenților și tensiunilor nesinusoidale, pentru dispozitivele ȋn comutație

---

Datorită simplității calculului, mărimile cu variație sinusoidală, sunt utilizate ȋn practică ȋntr-o proporție covârșitoare, la tehnologiile având prefixul „electro”. Totuși, ȋncă de la ȋnceputurile acestor tehnologii, au existat dispozitive lucrând ȋn curent continuu, prin tehnica comutațională. Motorul de curent continuu și bobina de inducție, sunt doar două dintre foarte cunoscutele dispozitive electromagnetice lucrând ȋn comutație.

După apariția și dezvoltarea tehnicii de calcul numeric și a computerelor personale, precum și a progreselor realizate ȋn tehnologia de fabricație a tranzistoarelor și a altor dispozitive electronice de mare putere, s-au creat condițiile pentru dezvoltarea fără precedent a tehnologiilor ȋn comutație, ca urmare a unor avantaje pe care acestea le aduc cu sine. Unul dintre principalele avantaje, este miniaturizarea, prin micșorarea dimensiunilor dispozitivelor electromagnetice aplicabile, ca urmare a cresterii frecventelor de lucru. Un altul, nu lipsit de importanța, este posibilitatea reglajului continuu al unor parametri, ȋn special al frecvenței, pentru anumite aplicații. Ca atare, s-au dezvoltat și tehnicile de analiză a curenților și tensiunilor periodice nesinusoidale, ȋn special prin proiectarea asistată de computer pentru profesioniștii ȋn domeniu.

Există totuși o categorie aparte de ne-specialiști, interesați ȋn construirea ȋn regim ne-industrial, care abordează din ce ȋn ce mai des tehnologia electronică ȋn comutație. Aceștia sunt electroniștii amatori și hobby-iștii din diferite domenii de activitate, unde aceste tehnologii au ȋnceput să pătrundă tot mai mult. Tot mai mulți dintre aceștia, ȋncearcă să abordeze construirea unui dispozitiv electronic de putere ȋn comutație, ȋncepând chiar cu proiectarea lui. Problema care apare ȋn aceste cazuri, este nivelul diferit de cunoștințe tehnice și ȋn special de electrotehnică și electronică pe care le deține fiecare.

Prezentul articol se adreseaza hobby-iștilor și amatorilor ȋn domeniu și vrea să fie un ȋndrumar practic de realizare a calculelor diferiților parametri ai curentilor și tensiunilor nesinusoidale ȋntâlnite ȋn practica dispozitivelor lucrând ȋn comutație. Mai mult decât atât. Pentru cei care nu au urmat studiile unei școli tehnice specializate pe disciplinele „electro”, s-a ȋncercat ȋn acest articol să se abordeze complicatul calcul al parametrilor unui curent/tensiune periodică nesinusoidală, prin metode geometrice simple, ȋn general mai accesibile prin logică formală, decât oricare altele.

 

1. Medii de proiectare CAD

 

Softurile CAD, aşa cum indică şi traducerea din limba engleză a expresiei pe care o abreviază (Computer Aided Design) sunt programe puternice de calcul matematic, având interfeţe diferite în funcţie de scopul pentru care au fost concepute.

AutoCAD-ul, este unul dintre cele mai cunoscute programe de computer aided design, a cărui interfaţă grafică este concepută în mod special pentru proiectanţii în domeniul ingineriei mecanice sau conexe. Este un mediu uşor accesibil celor care au aprofundat cunoştinţe cel puţin medii de geometrie analitică în plan şi/sau spaţiu şi este folosit îndeosebi pentru întocmirea desenelor tehnice în 2D. Este util proiectantului de programe de calcul care utilizează în activitatea sa date empirice transpuse sub formă grafică în diferite domenii, datorită uşurinţei şi preciziei cu care se traduce în cifre poziţia geometrică a unui punct în plan. Figura 1.1 reprezintă un printscreen al unei aplicaţii în AutoCAD, în care prin mijloace specifice s-au trasat prin copiere de precizie după caracteristicile originale oferite de catalogul produselor Ferroxcube, caracteristicile de pierderi ale feritei 3C94. Așa cum vom vedea de-a lungul articolului, prin comenzile specifice ale programului AutoCAD, se pot preleva date numerice direct de pe curbele vizibile în Fig. 1.1 şi se pot întocmi tabele specifice unor interpolări ulterioare într-un mediu CAD de programare a relaţiilor matematice, necesare scopului vizat. Cei interesaţi de asimilarea unor cunoştinţe de AutoCAD, pot găsi numeroase oportunităţi pe Internet, inclusiv în limba româna. Iată o adresă câtre un manual de AutoCAD online: https://www.scribd.co.../Manual-AutoCAD. Pe Internet, sunt disponibile de asemenea și tutoriale tematice pentru anumite aplicații tipice. Ȋn prezentul articol, exemplificările s-au făcut cu AutoCAD 2004. Ele rămân valabile pentru oricare variantă mai nouă a programului.

MathCAD, este un puternic mediu CAD de programare a calculelor matematice în scopul analizării şi prelucrării datelor numerice disponibile sub diferite forme – de regulă tabelar. MathCAD este conceput cu o interfaţă grafică prietenoasă, uşor de utilizat de către cei ce au solide cunoştinţe de matematică. Relaţiile şi formulele matematice utilizate se introduc într-un mod firesc, ca şi când am scrie pe o foaie de hârtie şi sunt citite, interpretate și executate de program, de la stânga la dreapta şi de sus în jos, într-o ordine familiară oricărui elev sau student. În MathCAD sunt disponibile un mare număr de funcţii, precum și posibilitatea definirii funcţiilor de către utilizator. Se pot defini funcţii prin recurenţă și este disponibil calculul cu funcţii speciale, cum ar fi calculul cu numere complexe, specific disciplinelor cu prefixul „electro”. Sunt perfect realizabile programe de mare anvergură corelând un mare număr de variabile și/sau parametri. Rezultatele calculelor se pot afişa sub diferite forme inclusiv grafic, atunci când este vorba de funcţii sau de date definite tabelar. Pentru a ține permanent sub supraveghere numai anumite zone din program calculele de rutină se pot închide ȋn arii invizibile, care pot fi deschise și verificate ori de câte ori dorim. Sau dimpotrivă, pot rămâne inabordabile pentru utilizatorii ne-avizaţi, prin protejare cu cuvinte-cheie (parole). Ȋn scopul lărgirii posibilităţilor, mediul MathCAD poate comunica cu alte medii de programare cum ar fi Excel-ul. MathCAD, poate la nevoie oferi un excelent mediu de editare a unor lucrări tehnico ştiinţifice. Ȋn prezentul articol, exemplificările s-au făcut cu MathCAD 14. Ele rămân valabile pentru oricare variantă mai nouă a programului.

Printre mediile CAD, un rol aparte îl au simulatoarele. Acestea sunt medii CAD deosebit de puternice și de utile, care pot simula funcţionarea în primele câteva secunde de tranziţie a unei scheme electrice mai mult sau mai puţin complexă. Se face deci o analiză ȋn domeniul timp a diverselor semnale disponibile și/sau parametrilor electrici, pe care utilizatorul le poate vizualiza la cerere. Unul dintre cele mai puternice medii CAD, care printre altele conţine și o secţiune de simulare, este ORCAD 9.1 (au apărut între timp şi variantele îmbunătăţite 9.2, … , 16.5)

Din păcate, foarte mulţi dintre cei care utilizează programele de tip ORCAD, o fac numai pentru a proiecta şi realiza cu o mai mare uşurinţa şi acurateţe plăcile de circuit imprimat (PCB-urile) necesare. Se invoca cel mai adesea pretextul că pentru a simula un circuit, acesta trebuie să fie foarte sofisticat. Adevărul în cele mai multe cazuri, este că pentru simularea unei scheme mai mult sau mai puţin complexă, operatorul trebuie să fie foarte bine lămurit cu teoria tehnică a diferitelor circuite și nu ȋn ultimul rând să aibă solide cunoştinţe de matematică, întrucât simularea nu este altceva decât un complicat program matematic, a cărui interfaţă este de regula grafică, pentru uşurinţa utilizatorului.

Există și simulatoare specializate, care nu au avut inițial legătură cu practica circuitelor imprimate, cum ar fi Electronics Workbench, sau Multisim, ambele dezvoltate de cercetătorii de la National Instruments. Ȋntre timp, au apărut variante noi de Multisim, care au adăugat și programe utilitare pentru proiectarea PCB. Există și diverse simulatoare specializate pe electronica de putere ȋn comutaţie, dar ele nu oferă (ȋn opinia subsemnatului) avantaje majore, față de simulatoarele universale enumerate anterior. Principala problemă cu care se va confrunta atât profesionistul cât și amatorul ȋn folosirea programelor de simulare, o reprezintă elaborarea modelelor pentru diferitele componente pe care urmează să le folosească ȋn schemele simulate. În ultimul timp o tot mai bogata biblioteca de modele pentru diverse dispozitive electronice produse ȋn serie este disponibilă, fie ca ataşament direct al simulatoarelor, fie ȋn diferite locaţii specializate pe Internet. Din păcate însa, ȋn ceea ce priveşte transformatoarele, sau alte dispozitive electromagnetice, nu este posibilă dezvoltarea unei asemenea biblioteci, întrucât exagerând puţin, există tot atâtea astfel de dispozitive, câte aplicaţii.

Pentru a face legătura dinte diversele surse de informaţii prezentate sub formă grafică, proiectantul amator, sau doar utilizatorul ocazional al mediilor CAD, este bine să cunoască și câteva programe grafice de tipul Paint. Unul cu acelaşi titlu este disponibil ȋn pachetele MICROSOFT-WINDOWS. Altele cu performanțe mai evoluate sunt disponibile pe Internet.

 

2. Curenți și tensiuni nesinusoidale – analiza Fourier [1]

 

Curenții și tensiunile nesinusoidale, sunt acei curenți sau tensiuni având o variație ȋn timp, de o formă diferită de cea sinusoidală.

Câțiva curenți și/sau tensiuni nesinusoidale periodice, sunt descriși prin curbele reprezentate ȋn figura 2.1.

Dupa cum se știe, curenții și tensiunile nesinusoidale, pot fi reprezentate sub forma unei sume infinite de componente armonice, avand amplitudini, frecvențe și faze diferite, adăugate la componenta continuă. Această reprezentare, se mai numește și descompunerea ȋn serie Fourier, a acelui curent sau tensiuni. Spre exemplu mărimea periodică nearmonică:

unde:

– A este componenta continuă;

–

Totalitatea componentelor armonice (sinusoidale) care compun curentul, sau tensiunea nesinusoidală periodică, se numește spectru. Lărgimea spectrului și compunerea sa, depind de perioada și forma oscilației.

Seria Fourier, mai poate fi scrisă și sub forma:

unde:

este amplitudinea armonicii de ordinul k a seriei, iar:

faza inițială a armonicii de ordinul k a seriei.

Se disting câteva cazuri specifice ale curbelor reprezentând curenți sau tensiuni periodice nearmonice, ȋn funcție de proprietățile de simetrie ale acestora față de anumite repere ale axelor de coordonate.

 

Curbele simetrice față de abscisă (vezi figura 2.2 a) nu conțin componenta continuă și armonicile pare. Relația (2.1) devine:

Curbele simetrice față de ordonată (vezi figura 2.2 b) nu conțin componentele ȋn sinus. Relația (2.1) devine:

Curbele simetrice față de originea coordonatelor (vezi figura 2.2 c) nu conțin componenta continuă și pe cele ȋn cosinus. Relația (2.1) devine:

Pentru determinarea seriei Fourier, se folosește o construcție asemănătoare cu cea din figura 2.3, ȋmpreuna cu:

Algoritmul 2.1:

1. Se ȋmparte perioada ȋn n parți egale, de obicei 24, 18, sau 12 și se trasează repere numerice pe ordonată, precum ȋn figura 2.3;

2. Se ȋntocmeste tabelul:

3. Se calculeaza valoarea componentei continue, cu relația:

4. Se calculează amplitudinile componentelor ȋn sinus, cu relația:

5. Se calculează amplitudinile componentelor ȋn cosinus, cu relația:

Exemplul 2.1: Se dă curba din figura 2.3, ȋn care pe ordonată avem variația unei tensiuni ȋn funcție de timpul de pe abscisă. Presupunem că o diviziune pe axa timpului are valoarea de 10^-4 s. O diviziune pe axa tensiunii, asa dupa cum reiese din figura, are 10 V. Rezultă că perioada funcţiei va fi T=2x10^-3 s. Tensiunea reprezentată ȋn figura 2.3, va avea deci frecvența f=1/T=1/2x10^-3=500 Hz. Aplicăm algoritmul 2.1 și avem:

1. Alegem n=12;

2. Se ȋntocmește tabelul:

3. Conform relației (2.5) componenta continuă, va fi:

4. Conform relației (2.6) amplitudinea componentei ȋn sinus pentru armonica k=1, va fi:

5. Conform relației (2.7) amplitudinea componentei ȋn cosinus pentru armonica k=1, va fi:

Studiind exemplul 1, se poate vedea cât de dificil este un calcul pe hârtie, chiar și ȋn condițiile utilizării unui calculator de buzunar cu funcții. Cu un calculator de buzunar programabil, lucrurile se simplifică oarecum. Ȋn acest caz, tot vom pierde ȋnsă un timp important, pentru ȋntocmirea și completarea tabelului de valori, la care se adaugă timpul pierdut pentru editarea corectă pe hartie a relațiilor de forma celor de mai sus. Ȋn cel mai bun caz, calculul va dura circa o jumatate de oră. Dacă este necesar calculul pentru mai mult de 3 armonici, acest timp se va mări simțitor. La acest lucru se adaugă faptul, că pentru creșterea preciziei calculului, de multe ori este necesară creșterea numarului n al diviziunilor pe abscisă, la 18, 24, sau chiar mai mult . Cazul din figura 2.3, este un asemenea caz. Se poate constata ușor, că spre exemplu ȋn ultimul interval de timp, funcţia schimbă de două ori concavitatea și descrește rapid. De aceea numarul diviziunilor temporare pe abscisa ar trebui marit de exemplu la 24. Relațiile de tipul celor de mai sus ȋși vor mări volumul ȋn mod corespunzător. Ce este de făcut ȋn acest caz? Răspunsul la această ȋntrebare, se găsește ȋn proiectarea asistată de computer.

 

 

3. Analiza Fourier, prin proiectare asistată

 

 

Vom arata ȋn acest capitol, cum se poate realiza un calcul precis și eficient ca timp, utilizand programul MathCAD 14. Ȋn figura 3.1, este prezentat un mod de implementare a calculului ȋn pagina de lucru MathCAD.

 

Ȋn figura 3.2 de mai jos, se dă un detaliu al figurii 3.1 de mai sus, necesar pentru lizibilitate.

Pentru o bună intuitivitate și comentarii cât mai puține legate de procedura ȋntocmirii programului, ȋn pagina de lucru MathCAD, s-a făcut o editare sugestivă a calculului. Pentru aceasta s-au folosit procedee puţin mai complicate. De aceea, amatorul și/sau hobby-istul, care lucreaza cu acest program complex de calcul matematic doar ocazional, va realiza punerea ȋn pagină a relațiilor, renuntând la textul de editare. Eventual se poate face o notă de text separată, ȋnchisă ȋntr-o arie de calcul, pentru a verifica la nevoie corespondența diferitelor simboluri utilizate. Deoarece se lucrează cu marimi matriceale și cu vectori (matrice coloană) este necesară comanda , amplasată ȋn fruntea calculului, ȋn colțul din stânga sus, pentru a face ca indicii pentru adnotarea liniilor și coloanelor acestor matrice să inceapa cu 1. Ȋn mod curent, acești indici sunt setați de program să ȋnceapa cu 0.

Singura mărime de intrare - in afara tabelului-matrice v, prin care se introduce punct cu punct functia - este numărul maxim de armonici care se dorește a se analiza, k_max. Ea se va amplasa ca egalitate de definiție (utilizanduse relația de egalitate specifică ) ȋntr-o casetă ȋncadrată și cu fundal colorat ȋn verde, sau altă culoare la dorința utilizatorului. Atât culoarea cât și ȋncadrarea relației, se va realiza utilizând caseta de control „properties”, din meniul „pop-up”, care apare atunci când se dă click dreapta pe relația respectivă.

Tot pe un nivel superior relațiilor de calcul se amplasează un „insert table”, căruia i se va asocia simbolul de referință v. Ȋn cele două figuri, apar de fapt două insert table-uri, notate cu v. Cel din stanga, avand o pata neagra distinctiva ȋn dreapta sus (semn de dezactivare pe timpul calculului) a fost folosit la realizarea ȋntr-un timp mai scurt a calculelor din exemplul 1. Fara el, munca de editare a acestui exemplu ar fi fost inacceptabil de lungă. Cel din stânga, diferă de cel din dreapta prin precizia de definire a valorilor funcţiei (cu trei zecimale la cel din dreapta și doar cu o zecimală la celălalt).

Pe prima coloană a acestui insert table, se vor introduce ȋn ordine crescătoare numerele de la 1, la n. Pe cea de a doua coloană, se vor introduce prin corespondență directă cu cele de pe prima coloană, valorile tensiunilor, sau curenților, prelevate de pe curba grafică prin diferite metode de apreciere.

Mai jos, pe primul nivel, se va introduce relația numărului de intervale de timp n, derivat din insert table-ul v, fiind egal cu numarul de linii (rows(v)) al matricei v. Pe același nivel cu această relație, este bine a se programa vectorul de valori ai timpilor de calcul corespunzatori indicilor q din prima coloană a insert table-ului v, urmat ȋn ordine de relația de definiție a funcţiei a(x). Ele pot fi dispuse și etajat ȋn aceeasi ordine, pe niveluri diferite, așa cum apar ȋn figurile de mai sus, cu condiția ca urmatoarele relații să se programeze fie pe același nivel ȋn stânga, fie pe un nivel inferior.

La dreapta pe același nivel cu funcția a(x) sau pe un nivel inferior acesteia, se amplasează indiferent ȋn ce ordine relația de definiție A, a componentei continue, precum și vectorii A’ și A’’, corespunzatori ȋn ordine amplitudinilor A^’_k și A^’’_k din relațiile 2.6 și 2.7. Valorile acestor amplitudini se pot vizualiza pe liniile k corespunzatoare ale vectorilor. Vectorii A’ și A’’, pot fi manipulați astfel ȋncât să se poată vizualiza un anumit interval din cele 1000 de valori calculate de program, sau la cerere se pot extrage din ei, doar valorile amplitudinilor dorite, așa cum s-a ilustrat ȋn cele două figuri, prin caseta de control de culoare bleu, unde ȋntr-o matrice se pot citi valorile A’₅=4,7418 V (amplitudinea celui de al 5-lea termen ȋn sinus) și A’’₅=13,459 V (amplitudinea celui de al 5-lea termen ȋn cosinus). Componenta continuă, este practic nulă, așa dupa cum era de așteptat, având ȋn vedere proprietațile de simetrie ale graficului.

 

4. Cum se obțin date din graficul unei funcții?

 

[adv_1] Atunci când dorim să construim noi ȋnșine un dispozitiv electronic ȋn comutație, putem găsi oriunde informatii sub forma grafică. Acestea se pot prezenta sub forma unor oscilograme reproduse direct prin fotografiere, de pe ecrannul unui osciloscop, sau sub alte forme. Cei mai mulți apreciază valorile numerice, pe baza unor interpolări vizuale de „bun simț”. Totuși, sursele de eroare sunt mari ȋn aceste cazuri. Pentru o apreciere mult mai apropiată de realitate se recomandă ca imaginea disponibilă din diverse surse să fie prelucrată și adusă ȋn foaia de lucru a unui program pentru proiectare asistată.

Vom arata ȋn continuare, cum se aduce ȋn spatiul de lucru al unui program AutoCAD și cum se prelucrează, astfel ȋncat să putem obține informații precise și utile, o oscilogramă (sau eventual un alt tip de grafic) disponibilă pe Internet.

Ȋn figura 4.1 de mai jos, este dată o oscilogramă realizată de constructorul amator Titi Petre din București, cunoscut ȋn anumite medii pe Internet sub nickname-ul CIBY2. Oscilograma corespunde semnalului de iesire dintr-un invertor de sudura cu comutație ȋn semipunte, al cărui etaj final este ilustrat ȋn figura 4.2.

Din analiza imaginii, se observă ȋn mod direct urmatoarele chestiuni:

• Semnalul este aplicat pe canalul Ch1 al osciloscopului, iar poziția comutatorului „Mode” este corespunzatoare acestui canal;

• Trigerul de selecție al acestui canal este fixat pe pozitia DC (curent continuu);
• Comutatorul bazei de timp, se poate ghici că este fixat pe 5 µs/div.

Din textul care ȋnsoțea această imagine pe Internet, se mai puteau desprinde urmatoarele: „...Sarcina: trei rezistente de 2 kw, indoite ȋn patru și prinse cu suruburi la capete. Baza de timp pe 5 microsec/div, intrarea pe 2 V/div, sonda pe X10 și semnal luat imediat dupa diodele finale...” Rezultă că s-a folosit o sondă divizoare a semnalului cu raportul 1:10. Corelată cu celelalte detalii și/sau cu observatiile noastre directe, rezultă că o diviziune pe axa timpului (abscisa) reprezintă 5 µs, iar o diviziune pe axa tensiunii (ordonata) reprezintă 20 V.

Pentru a preleva o zonă din imagine, conținând curba din oscilogramă, se deschide cu programul „Paint” din Windows fișierul imagine reprezentat ȋn figura 4.1. Se marește imaginea, cu ajutorul funcţiei „zoom” a programului, până la limita la care imaginea ȋncă mai are o buna claritate. Se face o selecție „cadru” a unei portiuni de imagine, cat mai clare și care cuprinde cel puţin o perioadă a tensiunii nesinusoidale reprezentate și se importă prin procedeul „copy-paste” ȋn planul de lucru al programului AutoCAD. Se salvează fișierul „dwg” cu un nume adecvat, intr-un folder de destinatie al computerului personal. Ȋn figura 4.3, este ilustrată această ultimă situație.

Din analiza figurii 4.3 de mai jos, se poate constata ȋncă de la inceput că liniile grilei trasate pe ecranul osciloscopului, nu vor fi paralele cu axa absciselor planului de lucru AutoCAD.

Prima operație ȋn Autocad, este trasarea cât mai exactă a unui cadru care să delimiteze graficul și care să coincida cu liniile de marcaj (principal sau secundar) ale rețelei grilei ecranului tubului catodic. Ȋn figura 4.4 este arătat modul ȋn care s-a obținut prima linie a acestui cadru.

Comanda folosita la linia trasata ȋn figura 4.3, poarta numele generic de „construction line” și s-a ales varianta cu linie de constructie determinată prin doua puncte – notate ȋn imagine cu „1” și „2”. La determinarea celor doua puncte s-a utilizat și funcția zoom din AutoCAD, la limita pentru care obiectul (imaginea) importată este ignorată de program și nu mai apare ȋn planul de lucru. Precizia acestui procedeu este destul de mare. În funcţie de scara (din AutoCAD) la care s-a importat imaginea, ea poate ajunge la valori de 10^-9, sau chiar mai mari. Pentru calculul pe care urmează să ȋl realizăm ȋn MathCAD, este suficienta o precizie de 3 zecimale dupa virgula. Totusi pentru acuratețe, se construiesc aceste linii intr-un mod cât mai exact posibil.

Ȋn figura 4.5, este ilustrată construcția celei de a doua linii a cadrului. Se vede mult mai clar de această dată, că linia nu este paralela cu abscisa – imaginară – a planului de lucru AutoCAD. S-a utilizat același procedeu ca la prima linie a cadrului, cu deosebirea că pentru a crea relația de perpendicularitate a celor doua linii, la pichetarea punctului „4”, s-a utilizat „snap”-ul de perpendicularitate.

Ȋn figura 4.6 de mai jos, s-a reprezentat trasarea celei de a 3-a linii. Linia se poate construi ȋn acelasi mod, cu cea anterioara, sau se poate utiliza comanda „offset”, ȋn modul „through” din AutoCAD, care realizează o copie a liniei trasate anterior, trecând prin noul punct „5” ales pentru construcție.

Construcția ultimei linii a cadrului este ilustrată ȋn figura 4.7. Se folosește aceeași comanda „offset” cu modul „through”, iar punctul de depunere a liniei a fost notat cu „6”.

Ȋn figura 4.8 se ilustrează modul de trasare a două dintre porțiunile de curbă din compunerea graficului. Se utilizează comanda „spline” din AutoCAD, care nu este altceva decat o funcţie statistico-analitica, aproximănd traiectoria curbei, prin indicarea unui numar limitat de puncte ȋn plan. Aceste puncte trebuie să fie mai dese, ȋn portiunile unghiulare de curba,sau cu raze de racordare mai mici. Acolo unde curba are un traseu mai ȋngrosat (neclar) se urmarește realizarea punctelor pe mijlocul porțiunii de luninescență maxima, ȋntrucât acelea sunt zone marcate de oscilații auxiliare de ȋnalta frecvență.

Celelalte 3 porțiuni de curbă, sunt cvasi-liniare, și sunt ȋnlocuite prin segmente de dreaptă trasate cu comanda „line” și care trec prin cele 2 puncte de capăt alese de proiectant. Modul lor de trasare, este ilustrat ȋn figura 4.9. Prin punctele centrale ale celor 2 segmente de dreaptă verticale, se trasează apoi folosind comanda „offset”, linii de construcție paralele cu cele două linii paralele cu ordonata ale cadrului trasat inițial. Același lucru se face și ȋn partea stangă a graficului, observându-se că linia de ȋntoarcere a curbei din această parte, nu coincide cu linia de construcție laterală din stânga a graficului. Cele trei linii de construcție realizate la ultimul pas, se transformă ȋn linii „AM_7” (de format „linie-punct” și colorate ȋn bleu) cu ajutorul barei-meniu de alegere a lerelor. Celelalte linii, care desemnează conturul curbei, rămân ȋn lera „AM_0”, care a fost setată inițial pentru trasarea liniilor de desen.

Aceste trei linii, au fost trasate ca repere. Cei cu experiență ȋn AutoCAD, pot să nu le mai deseneze.

Rolul imaginii curbei importată ȋn AutoCAD, s-a ȋncheiat aici și ea poate fi ștearsă cu comanda „cut” de la meniul „edit”, dupa ce a fost selectată, ȋn primul pas al urmatoarei etape ilustrate ȋn figura 4.10. Ȋn aceeași etapă, la pasul 2, se selecteaza cele 4 linii de construcție care determină cadrul inițial construit al graficului și se transformă cu ajutorul barei pentru controlul lerelor ȋn linii „AM_0”. La acelasi pas, se utilizează comanda „trim” pentru a indeparta excedentele către infinit ale acestora, cât și a liniilor de construcție trecute anterior la lera „AM_7”. La pasul 3 al acestei etape, se selectează liniile reprezentand curba, și prin utilizarea barei „color control” se coloreaza ȋn roșu. La pasul 4, se selectează ȋntregul desen cu o selecție de tip „cadru” și se transformă ȋn bloc, ȋn doua etape. Ȋn prima etapă se alege comanda „copy with base point” de la meniul „edit”, după care se selectează punctul de aplicație marcat ca atare ȋn figura 4.10. Ȋn etapa a 2-a, se sterg liniile de desen deja selectate și se ȋnlocuiesc cu blocul corespunzator, utilizând comanda „paste as block” de la meniul „edit” și click ȋntr-un punct oarecare din planul de lucru al programului.

Etapa urmatoare, are drept scop reglarea direcțiilor celor doua axe de coordonate ale graficului, prin realizarea paralelismului lor cu direcțiile orizontală și verticală ale planului de lucru AutoCAD. Ea este ilustrată ȋn figura 4.11. Primul pas este amplasarea unei linii de construcție orizontale ȋn punctul de aplicație al blocului creeat la pasul anterior. La pasul al doilea, se utilizează comanda „align” indicata ȋn figura 4.11, urmându-se apoi indicatiile din bara de dialog a programului, desemnată ȋn aceeași figură.

In figura 4.12, este ilustrată realizarea unui sistem-calibru, necesar rescalării desenului. La pasul 1, se revine ȋn modul „ortho”, prin acționarea tastei F8, sau click pe butonul destinat acestui mod din bara din dreapta jos a programului. Dintr-un punct cât mai apropiat de punctul de aplicație al blocului desenului, se construiesc cu ajutorul comenzii „line”, două linii perpendiculare, de dimensiuni corelate cu numarul de diviziuni sau subdiviziuni ale axelor. Spre exemplu pentru linia orizontală se alege dimensiunea de 5 mm corespunzator celor 5 diviziuni ale axei timpului cuprinse de cadrul realizat la prima etapă. Ȋn mod asemănator, pentru linia verticala se alege dimensiunea de 3, 8 mm, corespunzatoare celor 3,8 diviziuni, sau celor 19 subdiviziuni a câte 0,2 diviziuni fiecare. La pasul 2 al acestei etape se re-descompune ȋn părți geometrice elementare, blocul creat anterior, prin utilizarea comenzii „explode”.

Ȋn figura 4.13, este ilustrată etapa urmatoare, de rescalare a desenului ȋntocmit inițial după imaginea importată din Paint, ȋn AutoCAD. Pentru aceasta se alege comanda „scale X,Y”. Ȋn bara de dialog, programul ne va solicita să selectam obiectul (obiectele) urmând a fi scalate. Răspundem prin selectarea de tip cadru a tuturor componentelor desenului nostru și tasta „enter” acționată pentru confirmare. Programul ne va solicita (ȋn bara de dialog) să introducem punctul de bază, relativ la care se va face scalarea. Răspundem cu selectarea fostului punct de referinta al blocului, sau cu un punct oarecare, ales prin click ȋn planul de lucru.

Programul ne va solicita să introducem factorul de scalare, sau modul „reference”, care se introduce de la tastatură, prin scrierea literei r, sau R, dupa cele două puncte afișate ȋn bara de dialog, urmată de confirmare prin acționarea tastei „enter”. Alegem modul „reference”. Programul ne va solicita introducerea punctului de plecare pentru referința axei X a obiectului (obiectelor) scalat. Răspundem prin click pe punctul de la confluența dintre linia orizontala de jos și cea verticala din stanga ale cadrului construit inițial, folosind eventual și snap-ul „snap to endpoint” din bara de snap-uri a programului. Programul ne va solicita să indicăm cel de-al 2-lea punct pentru referința axei X a obiectului (obiectelor) scalat. Ca raspuns, dăm click pe punctul din dreapta al liniei orizontale de jos a cadrului inițial construit. Programul ne va solicita (ȋn bara de dialog) să specificam primul punct al noii lungimi pentru axa X, a obiectului (obiectelor) scalat. Răspundem cu click pe punctul de la confluența celor doua linii ale sistemului-calibru construit mai sus. Programul ne va cere să desemnam cel de-al 2-lea punct al lungimii axei X. Se raspunde cu click pe celălalt capăt al al liniei orizontale a sistemului-calibru. La fiecare desemnare a punctului solicitat, este bine să se utilizeze și snap-ul „snap to endpoint”, din bara de snap-uri a programului, pentru a evita erori grosolane la scalarea pe axa X. Programul ne va solicita introducerea factorului de scală, sau a modului „reference” pentru scalarea pe direcția Y. Alegem modul „reference”. Programul va relua (ȋn bara de dialog) un șir de solicitari asemănătoare și pentru scalarea pe direcția Y. Raspundem ȋntr-un mod asemanator, folosind ca lungime de referință lungimea de la confluiența liniei orizontale de jos, cu cea verticală din stânga a cadrului inițial, pâna la capatul de sus al liniei verticale menționate. Pentru noua lungime introducem ȋn ordine punctul de la confluiența celor două linii ale sistemului-calibru, până la celălalt capăt al liniei verticale corespunzătoare aceluiași sistem. Vom utiliza de asemenea – de preferință – snap-ul „snap to endpoint” din bara de snap-uri a programului. La sfărșitul acestui proces laturile orizontală și verticală ale cadrului desenului, vor coincide ca lungime, respectiv cu laturile orizontală și verticală ale sistemului-calibru, iar toate celelalte puncte ale desenului inițial, vor fi redistribuite după o lege a geometriei analitice de trecere de la un sistem de referință la altul, prin rescalare diferențiată dupa cele doua axe de coordonate.

Ȋn urmatoarea etapă, ilustrată ȋn figura 4.14, se șterge prin selecție cadru și acționarea tastei „delete” sistemul-calibru. Al doilea pas, este mutarea ȋntregului desen, cu punctul de referință (notat ca atare ȋn figura 4.14) ȋn centrul de coordonate al planului de lucru AutoCAD. Operația se execută prin selecția cadru, a tuturor obiectelor (liniilor) desenului util și utilizarea comenzii „move”, punctul de aplicație solicitat ca referintă a mutării se va stabili la confluiența liniilor orizontala-jos și verticală-stânga a cadrului construit inițial. Punctul de destinație al ansamblului astfel mutat se va introduce de la tastatura, prin scrierea coordonatelor „0,0,0” și acționarea tastei „enter”.

Ȋn figura 4.15, este ilustrat un șir de operații, ȋncepând cu pasul 1, la care se șterg liniile ajutatoare construite ȋn lera „AM_7”, prin selectare directă urmată de acționarea tastei „delete”. La pasul 2 se execută operația de mutare cu comanda „move” a liniilor curbei, selectate prin click pe fiecare obiect ȋn parte (liniile notate cu „a” ȋn figura 4.15) cu punctul de referință al mutării, identic cu cel din extremitatea din stânga al primei spline, până ȋn punctul de intersecție al liniilor inferioară și din dreapta ale cadrului inițial, devenit centrul axelor de cordonate al sistemului. Acest lucru este posibil, având ȋn vedere că referința este borna de masa a osciloscopului. La pasul 3 se copiază splina notată cu „b”, cu punctul de referintă ȋn extremitatea din stânga până la punctul estrem din dreapta jos al graficului. S-a obținut ȋn acest fel un ȋnceput de nouă perioadă a graficului.

 

Ȋn figura 4.16, se ilustrează cum se construiește grila-rețea a graficului, cu scopul de a ȋnlesni prelevarea directă a datelor numerice necesare. Primul pas, este copierea multiplă indexată a axelor de coordonate. Se aplică comanda „copy”, spre exemplu axei X, prin selectarea directă a acesteia și copierea la distanța de 0,1 mm ȋnspre direcția pozitivă a axei Y. Se copiază noua linie construită prin selecție directă și comanda „copy”, după care prin alegerea punctului de referință ȋn centrul axelor de coordonate, se aplica acest punct ȋn punctul de intersecție al intersecției primei linii de grilă, cu axa ordonatelor. Ȋn acest mod, rezultă cea de a doua linie de grila orizontala, la distanta de 0,1 mm de prima și deci 0,2 mm de centrul sistemului de axe. Se copiază ȋn mod asemanator cele doua linii construite cu punctul de referință ȋn centrul sistemului de coordonate și se aplica ȋn punctul de intersectie al ultimei linii orizontale construite, cu ordonata. Rezultă ȋncă două linii de grilă. Acest procedeu se repetă până ce la un moment dat, vor exista un anumit numar de linii care depasesc nivelul superior al graficului. Se șterge prin selecție și acționarea tastei „delete”, surplusul de linii. ȋn acest moment liniile orizontale ale grilei-rețea sunt construite. Se procedează ȋn mod similar și cu liniile verticale ale grilei. La pasul 2 se selecteză toate liniile tețelei și se trec la lera „AM_4”. Pasul 3, realizează „nivelarea” figurii prin retezarea cu ajutorul comenzii „trim” a tuturor liniilor care depașesc conturul regulat. La pasul 4 se selectează liniile extreme ale rețelei și se trec la lera „AM_0”, formănd noul cadru al graficului. La pasul 5, se selecteaza liniile din milimetru ȋn milimetru, care formeaza rețeaua marcată a grilei și se trec la lera „AM_2”. La pasul 6 se utilizeaza comanda „multiline text” pentru a creea marcaje numerice ȋn dreptul fiecarei linii de marcaj a grilei, ȋn conformitate cu figura 4.16.

Ȋn figura 4.17, este ilustrat modul cum se vizualizează, cu ajutorul comenzii „locate point” și utilizarea snap-ului „snap to intersection”, coordonatele punctelor de interes pentru utilizator. Ȋn figura 4.17, se ilustrează prin coordonatele centrului sistemului de coordonate și ale punctului „a” de la intersecția graficului cu linia de grilă verticală x=1.

Un lucru deosebit de important pentru prelucrările de date ulterioare, este stabilirea factorilor de scală ale celor doua axe, pentru trecerea de la unitatile de lungime prelevate din grafic, la unitati de timp ȋn cazul abscisei și la valori de tensiune ȋn cazul ordonatei. Se poate observa, ținând cont de datele aferente imaginii descărcate de pe Internet odată cu imaginea oscilogramei ilustrată ȋn figura 4.1, că pentru axa absciselor, 1 mm pe axa, corespunde cu 5 µs. Ȋn mod asemanator, pentru 1 mm pe axa ordonatelor, corespunde o valoare de 20 V. Vom avea deci factorul de scala pentru abscisă s/mm, iar pentru ordonată V/mm. Deci punctul „a” prelevat ȋn figura 4.17, va corespunde de fapt valorilor s și V.

Ajunsi ȋn acest punct, suntem pe deplin capabili să extragem din graficul realizat, orice set de coordonate, necesare analizei ulterioare. Astfel putem determina (v. Fig. 4.18) valoarea perioadei tensiunii nesinusoidale reprezentate ȋn figura 4.1. Avem s. De aici putem calcula frecvența kHz

Un interes aparte, pentru analiza tensiunii sau curentului nesinusoidal, ȋl are planimetrarea ariei cuprinsă ȋntre axa timpului și graficul funcției, limitat la o perioada T.

Ȋn figura 4.19, se ilustrează cum se prelucrează graficul disponibil, pentru a se putea face planimetrarea ariei menționate. Se obține, pentru cazul de față mm², asa după cum se poate citi ȋn bara de dialog. Ȋnmultind aria S_g, cu produsul factorilor de scală, se obține o mărime Vs. Programul furnizează și lungimea conturului care delimitează regiunea, mm, dar care nu interesează ȋn această aplicație.

Studiind graficul din figura 4.18, se poate constata ca divizarea axei timpului ȋntr-un numar mic divizibil prin 6 nu este posibilă, datorită unei succesiuni multiple de schimbări bruște de sens. Distanța de timp dintre cele două schimbări bruște de sens, apreciata conform metodelor expuse și ilustrate ȋn figurile 4.17 și 4.18, este de s. Deci valoarea diviziunii perioadei trebuie să fie nu numai mai mică ca această valoare, ci ȋn plus să asigure un numar cât mai mare de diviziuni ȋn intervalul scurt dintre cele două schimbări bruște de sens. De regulă un numar de 10 diviziuni ȋn acest interval este suficient. Rezultă ca valoarea unei diviziuni, trebuie să fie mai mică sau egală cu s. Ȋn cazul concret pe care ȋl analizam aici, un număr minimal de diviziuni ale perioadei de timp este de 723. După ce am realizat un calcul de analiză armonică cu un număr de 12 diviziuni și am văzut cât de complicat este, putem să ne facem o idee reală despre ceea ce ȋnseamnă un numar de diviziuni multiplicat de aproximativ 60 de ori. Ce-i de făcut ȋn acest caz?

Raspunsul la această ȋntrebare, se află tot ȋn proiectarea asistată, prin utilizarea programului MathCAD. Problema va fi abordată ȋntr-un mod diferit de cea expusă anterior și pornește de la definirea tabelară prin valori discrete ale graficului descris de curba din figura 4.18. Și atunci ...

 

5 ... Ne ȋntoarcem la analiza Fourier

 

Ȋn figura 5.1, s-au stabilit o serie de puncte pentru prelevarea datelor din fișierul AutoCAD, pentru graficul din figua 4.16. Aceste puncte nu trebuiesc neapărat distribuite ȋn mod echidistant.

Pentru alegerea pozitiilor acestor puncte, trebuie să se țină cont de câteva reguli dupa cum urmează:

• Se vor folosi la pichetare „obiecte” rotunde. Pentru AutoCAD se poate folosi așanumitul „donut”, construit cu comanda cu același nume, având diametrul interior nul și diametrul exterior cat mai mic, dar vizibil. ȋn acest caz, s-a folosit un „donut” cu diametrul exterior de 0,025 mm;

• Ȋn porțiunile curbilinii, donut-urile vor fi mai dese decât ȋn regiunile rectilinii. Cu atât mai dese, cu cât raza aparentă a curbei este mai mică;
• Ȋn porțiunile cu schimbare bruscă a direcției de variație a graficului, se va picheta punctul unghiular și se vor prevedea atât ȋnainte, cât și după acest punct, ȋncă două puncte de pichetare foarte apropiate. Ele se vor face de regulă la distanțe comparabile cu diametrul exterior al donut-ului;
• Se va acorda o atenție deosebită amplasării acestor donut-uri, cu centrul ȋn punctul de pichetat de pe grafic, pentru a evita erorile de prelevare ale poziției acestora. Se vor folosi ȋn acest scop snap-urile.

Ȋn tabelul 5.1, s-au notat coordonatele prelevate prin metoda ilustrată la capitolul anterior.

Ȋn tabelul 5.2 s-au notat valorile timpului t, rezultate prin multiplicarea valorilor corespunzătoare lui x din tabelul 5.1, cu factorul de scala k_x definit la capitolul precedent și cu u(t) valorile rezultate prin multiplicarea valorilor corespunzătoare lui y, cu factorul de scală k_y. Tabelul a fost prelucrat prin programare ȋn EXCEL și datele transferate aici.

Ȋn tabelele 5.1 și 5.2, lipsește punctul de coordonate {0,0} pentru care nu a mai fost loc și care corespunde centrului sistemului.

Cei foarte atenți, ar fi descoperit probabil chiar și ȋn lipsa unei evidențieri a celulelor din tabelul 5.1, că ȋn celulele respective, ar fi trebuit să apară una și aceeași valoare. Acest lucru s-ar fi datorat modului de construcție al graficului, ȋn care două dintre liniile componente ale graficului sunt paralele cu axa ordonatelor. Valoarea reală a abscisei este cea evidențiată cu o nuanță diferită. Valorile au fost ȋnsă diferențiate, prin scăderea din valoarea evidențiată diferit a câte unei unități din valoarea zecimalei cel mai puțin semnificative, pentru valorile din stânga celei evidențiate ȋn mod diferit. Pentru valorile celor din dreapta, s-a adunat o unitate la zecimala cel mai puţin semnificativă. Această procedură nu schimbă ȋn mod esențial valorile modificate, dar este necesară pentru programarea ȋn MathCAD, unde valorile introduse printr-un tabel de date „insert table” trebuie ȋn mod necesar să formeze un șir crescător. Transferarea datelor din AutoCAD, ȋn MathCAD, se face conform metodei ilustrate ȋn figura 5.2. Se introduce, prin folosirea metodei copy ȋn AutoCAD, paste direct ȋn celula corespunzătoare din MathCAD, fiecare valoare selectată din bara de dialog AutoCAD, dupa ce s-a obținut cu comanda „locate point”.

Ȋn figura 5.3, este ilustrat un detaliu din planul de lucru MathCAD al figurii 5.2. Comanda ORIGIN:=1, face ca indicele atașat elementelor unei matrice sau ale unui vector (matrice coloană) să ȋnceapă cu 1. Ȋn mod normal, acest indice este setat de program la valoarea 0. Ȋn planul de lucru MathCAD, se definesc apoi factorii de scală ai celor două axe de coordonate k_x și k_y. Datele din AutoCAD, se transferă celulă cu celulă ȋn insert table-ul notat cu v. Prin relația de definiție a unei matrice-tabel b’, fiecare element al primei coloane a matricei v, se ȋnmulțește cu k_x și fiecare element al celei de a 2-a coloane, se ȋnmulțește cu k_y. Rezultatul este ilustrat ȋntr-un tabel de control alăturat. Se definește o funcţie auxiliara a’(t).

Pasul urmator, este minimizarea spațiului din foaia de lucru MathCAD, ocupat de insert table-ul v, eliminarea tabelului de control b’și inserarea unei arii de lucru MathCAD prin comanda „area” din cadrul meniului „insert”. Situația este ilustrată ȋn figura 5.4, ȋn care toate relațiile prezentate anterior s-au introdus ȋntre cele două linii specifice ale ariei. La următorul pas, cu ajutorul funcției a’(t) si cu un indice n, reprezentând numărul de diviziuni necesre pe axa timpului, se definește o matrice b, având n linii si 2 coloane. Prima coloană, va conține valorile de timp succedându-se la intervale egale. Cea de a 2-a coloană, va conține valorile corespunzatoare ale funcţiei – curentul sau tensiunea analizată.

Se vizualizează apoi, graficul funcţiei definite prin valori discrete ȋn matricea b, cu ajutorul comenzii „X-Y plot”, din cadrul barei de unelte „graph”. Programul furnizează un sistem de coordonate având 6 poziții, unde urmează a fi introduse datele necesare conform schemei ilustrate ȋn figura 5.4. Ȋn figură se vede și modul ȋn care a fost definită funcţia a(t). Programul va ȋnzestra graficul ȋn mod automat, cu un sistem de repere, ilustrat ȋn figură. Daca se dorește un alt numar de repere, atunci obținem un „pop-up menu”, printr-un dublu click pe grafic. Pentru crearea unei grile rețea, ȋn meniurile „X-Y axis”, se bifează opțiunea „grid lines”, atât ȋn secțiunea „X-axis”, cât și ȋn secțiunea „primary Y axis”.

Pentru a modifica numarul de linii din grila, se de-bifează optiunile „auto grid” din ambele secțiuni și se setează ȋn mod corespunzator casetele activate ȋn acest mod.

Ȋn figura 5.5, s-a ilustrat acest „pop-up menu” cu opțiunea „grid lines” setată.

Ȋn figura 5.6, s-a ilustrat graficul cu grilă rețea, re-setată pentru valorile 10 (pe axa X) și 8 (pe axa Y). Ȋn aceeași figură se indică de unde se poate extinde graficul.

Cele două chei corespunzatoare respectiv axelor X și Y, se „agață” prin click pe fiecare ȋn parte și se deplasează mouse-ul ȋn direcția de extindere, atât cât dorim. Ȋn acest moment, putem compara vizual graficul trasat de MathCAD, dupa datele tabelului b, cu graficul realizat ȋn AutoCAD prin procedura expusă anterior.

Ȋn continuare, se programează relațiile deja cunoscute din prima variantă conform figurii 5.7. Aici, factorii de scală, au fost amplasați ca mărimi de intrare, la fel precum și numarul de diviziuni de timp n și numarul maxim de armonici k_max.

Ȋn scopul unei anumite marje de control al preciziei de calcul, s-a introdus indicatorul de maxim Δu_max, ca diferență ȋntre valorile maxime ale matricelor b’ și b. Valoarea acestui indicator de maxim, care are dimensiunea unui curent sau a unei tensiuni (după caz) a fost scoasă ca dată de control ȋntr-o casetă ȋncadrată de culoare mov, ȋn zona de afișare a soluțiilor – v. Fig. 5.8. Astfel pentru n=723, vom avea Δu_max=1,6106 (volți ȋn acest caz) pentru n=724, vom avea Δu_max=3,1715. Tatonând ȋn acest fel, vom căuta să obținem o valoare cât mai mică pentru Δu_max. ȋn figura 5.8, tatonările s-au oprit la valoarea n=727, pentru care s-a obținut Δu_max=0,1209.

Din matricea b, care conține ca ultim și respectiv prim element, valorile exacte ale intervalului de timp de evoluție ale graficului – pentru că așa s-a construit – se calculează prin diferența acestor valori perioada T a acestuia. Se calculează apoi frecvența din relația f=1/T.

Tot din matricea b, se extrag valorile limită t și t₁ ale intervalului de integrare pentru obținerea ariei A_g închisă ȋntre grafic și abscisă, precum și a valorii efective A_e și medii A_med.

Ȋntrucât valoarea A a componentei continue a spectrului, nu este altceva decât valoarea medie A_med calculată anterior, valorile cât mai apropiate ale acestor mărimi dau indicii despre corectitudinea calculului. Avem ȋn acest caz A=24,0709 V și A_med=23,7451 V.

Calculul se incheie prin calcularea amplitudinilor A_k, ale armonicilor, conținute ȋntr-o matrice A și cu determinarea matricei valorilor fazelor inițiale ale armonicilor Ф. Ȋn figura 5.7, au fost afișate ȋn casete de control ȋncadrate și cu fundal cenușiu, valorile corespunzătoare amplitudinii și fazei inițiale ale armonicii fundamentale A₁ și f₁. Apropo de mărimea A_g, noțiunea de arie este de fapt improprie, având ȋn vedere că dimensional, ea se exprimă ȋn *s. Unde simbolul „*” va fi ȋnlocuit ȋn funcție de natura graficului, printr-o unitate de măsură specifică. Spre exemplu, ȋn literatura de specialitate, atunci când este vorba despre tensiune, această mărime este desemnată prin sintagma „produsul tensiune-timp”. Având ȋn vedere ȋnsă, ca graficul se poate referi și la o alta marime, diferită de tensiune, ȋn acest articol se va păstra noțiunea de „arie”.

Dacă considerăm ariile graficului deteminate cu abscisa, pozitive atunci când sunt situate deasupra acesteia și negative ȋn caz contrar, atunci este evident că ȋn cazurile curbelor simetrice față de axa timpului – cum este cazul celei studiate la capitolul 3 – rezultă A_g=0 și ȋn concluzie și A=A_med=0.

Apropos de modul ȋn care se introduc indicii ȋn MathCAD. Atunci când se definește o mărime, având atașat un indice, după simbolul mărimii respective, se introduce de la tastatură un punct („.”) urmat de simbolul indicelui, introdus fie de la tastatură, fie din seturile de caractere ale programului MathCAD. Dacă se dorește afișarea unui element al unui vector (matrice coloană) atunci dupa caracterul reprezentând mărimea, se introduce de la tastatură caracterul „[”,urmat de caracterul corespunzător indicelui, scris ȋn câmpul dedicat, pe care programul ȋl afișează. Este cazul mărimilor și din matricea de rezultate finale. Dacă ȋn schimb, se urmărește afișarea unui element al unei matrice având m linii și n coloane, se va scrie mărimea, urmată de caracterul „[”, apoi de caracterul „,” (virgulă). Programul va afișa două câmpuri specifice, separate de caracterul „,”. Ȋn primul câmp se introduce numarul m al liniei, iar ȋn cel de al 2-lea, numarul n al coloanei dorite. Pentru cazul afișării unui rezultat se folosește caracterul „=” introdus fie de la tastatură, fie de la barele de unelte ale programului. ȋn cazul unei egalități de definiție, se va utiliza ȋn schimb caracterul „:=”, introdus de la tastatură prin secvența „shift” + „:”, sau de la barele de unelte ale programului.

Se pot remarca valorile foarte apropiate ale suprafeței A_g, obținute ȋn AutoCAD ( Vs) și ale celor furnizate de MathCAD ( Vs).

Mai trebuie precizat faptul că, datorită unui număr mare de iterații ale procesării matricei b (727 ȋn acest caz) precum și ale numarului mare de armonici setat (k_max=1000) durata unui ciclu de calcul este puțin mai mare de un minut. Totuși, având ȋn vedere cât ar dura un calcul fără aportul programelor de „Computer Aided Design”, se poate considera că este un inconvenient minor.

Pentru micșorarea timpului necesar calculului, cei mai puțin exigenți, pot seta numarul maxim de armonici la valoarea k_max=100, lucru care reduce această durată la numai câteva secunde.

Un lucru interesant, apropos de analiza Fourier, este faptul că valoarea efectivă a mărimii armonice studiate, este dată de relația:

Dacă numarul de armonici pe care le putem analiza efectiv, este limitat – așa cum am văzut chiar și ȋn cazul utilizarii unor programe de proiectare asistată de computer – atunci ne ȋntrebăm pe bună dreptate, cum putem să obținem valoarea expresiei ?

Dacă pentru analiza unui număr de 100 de armonici trebuie să așteptăm câteva secunde, pentru 1000 de armonici, aproximativ un minut și jumătate, iar pentru 10000 de armonici cam 8 minute, atunci cât trebuie să dureze un calcul pentru o valoare k_max=10³⁰⁷, care este o valoare, la care chiar și MathCAD-ul dă un mesaj de eroare. Pentru foarte mulți practicieni, valoarea 10³⁰⁷ este de fapt cvasi-echivalentă cu infinit.

Mai trebuie pus ȋn balanță faptul că prin setările originale, programul MathCAD poate procesa matrice cu un număr limitat de elemente.

Se observă din relația (5.1) că dacă termenul A, definește componenta continuă a marimii periodice nesinusoidale studiate, expresia , caracterizează de fapt componenta alternativă a acesteia. Dacă notăm cu A_a această componentă, avem:

Având ȋn vedere că valoarea A, se poate obține prin metode geometrice, ne punem ȋntrebarea – oare nu putem face acest lucru și pentru A_e?

Răspunsul la ȋntrebarea de mai sus se află ȋn utilizarea unor ...

 

6. ... Procedee empirice de calcul

 

S-a văzut ȋn capitolele anterioare, că aria determinată de o curbă grafică a(t) cu axa absciselor, ȋntre două puncte t și t₁, reprezintă de fapt valoarea integralei definite:

Corolar important:Dacă funcția a(t) evoluează de o parte și de alta a abscisei, atunci pentru intervalul considerat [t,t₁] aria totală a graficului se determină ȋnsumând ariile determinate de curbă cu axa absciselor. Se consideră ariile formate deasupra axei, ca fiind pozitive, iar cele de sub axă, negative.

Exemplul 6.1: Ȋn figura 6.1, este ilustrat un exemplu de grafic, la care s-au hașurat ariile zonelor formate de curbă cu abscisa. Graficul este unul oarecare – neperiodic – având t=0 și t₁=10k_x. Considerăm k_x=0,001 s/mm și k_y=10 V/mm. Rezulta t₁=0,01 s. Din corolarul de mai sus și din imaginea din figura 6.1, rezultă:

Modul de determinare a diferitelor suprafețe ale graficului, rezultă din figura 6.2, unde acestea au fost descompuse ȋn suprafețe elementare de formă triunghiulară, sau trapezoidală, notate cu litere de la a, la v. Punctele de intersecție ale diferitelor segmente ale graficului, au fost marcate prin coordonatele (x,y).

Astfel suprafața triunghiulară a, are aria:

Suprafața trapezoidală b, are aria:

Calculând ȋn mod asemănător pentru suprafețele similare, rezultă:

Suprafețele A₁, A₂, A₃ și A₄, vor fi:

Definim pseudo-aria Ag cu relația:

Rezultă pentru exemplul de mai sus Vs.

Ȋn exemplul din figura 6.2, s-a aproximat curba, la o succesiune de segmente, lucru care se poate ușor realiza ȋn practică la o traiectorie curbilinie, prin alegerea potrivită a lungimii intervalelor dintre două valori succesive ale abscisei. Studiind simetria funcţiei față de axa timpului, este mult mai usor de calculat, ȋn cazul funcțiilor simetrice față de această axă. De asemenea, la funcțiile periodice – adică ȋn majoritatea cazurilor – calculul se reduce doar la o perioadă.

Evaluând tot ceea ce trbuie făcut, este evident că suprafața determinată de o curbă cu axa absciselor, este mult mai ușor de determinat utilizând un program de proiectare asistată de computer, de tipul AutoCAD. Totuși, cei care din diverse motive, nu vor utiliza un astfel de program, au posibilitatea să efectueze un calcul tradițional – cu creionul pe hârtie – urmând exemplul de mai sus. Calculul ariilor elementare ale unui grafic, se mai pot determina și grafic, prin utilizarea unor coli de hârtie cu grila-rețea milimetrica. Se va alege ȋn acest caz scala de reprezentare grafică ȋn mod convenabil, iar determinarea suprafețelor elementare se va putea face (mai puțin precis, ce-i drept) prin numărarea pătratelor cu latura de 1 mm, ȋnscrise complet ȋn acea arie și prin aproximarea prin insumare a celor fracționare. Ambele metode au o multitudine de inconveniente, de aceea având ȋn vedere larga răspândire a computerelor și a programelor de proiectare asistată pe computer, este recomandată o metodă, care le pune ȋn valoare.

Dacă vrem să evidențiem ȋn același sistem de coordonate și graficul funcției a²(t) redus la scară (il vom nota in acest caz cu b(t)) astfel ȋncât dimensiunile sale să fie comparabile cu ale graficului curbei a(t) vom utiliza urmatoarea procedură:

Procedura 6.1

1. Se ȋmparte perioada funcției reprezentată la scară, având factorii de scală k_x și k_y, intr-un număr suficient de părți de lungimi aleatorii (pot fi și egale) pentru a se putea face o interpolare grafică, cât mai precisă ȋntre două puncte adiacente ale curbei;

2. Dacă se notează funcția reprezentată la scara specificată cu a(x), se construiesc ȋn sistemul de coordonate ale graficului acestei funcții, segmente de dreaptă paralele cu ordonata, prin fiecare punct deteminat la pasul 1;
3. Se marcheză la intersecția fiecărui segment cu graficul funcției coordonata y_i, a acestuia (i, fiind numarul curent al segmentului, notat la radăcina acestuia dinspre axa absciselor) ca ȋn figura 6.3;
4. Se determină valoarea y_max (in milimetri) a segmentului cel mai lung, trasat la primul punct;Se determină un factor de scala auxiliar k^’_y (numar ȋntreg) astfel ȋncât valoarea expresiei (y_max/k^’_y)², să fie comparabilă cu y_max;
5. Se determină rând pe rând și se marchează pe segmentul respectiv (eventual pe prelungirea acestuia) cu o alta culoare, punctul corespunzător și valoarea expresiei (y_i/k^’_y)²;
6. Se unesc punctele rezultate, printr-o linie curbă continuă de culoare diferită, astfel ȋncât trecerea de la o zonă la alta a curbei, să se facă ȋn mod adecvat, fără forțarea traiectoriei. Daca este nevoie se construiesc și puncte suplimentare, prin care trece curba, a căror ordonată y_s, respectă relația (y_s/k^’_y)², așa cum se ilustrează ȋn figura 6.3, prin punctele de coordonate (90, 25) corespunzătoare punctelor de coordonate (90, 50) și (90, -50) din graficul funcției a(x). Notăm funcția reprezentată de curba obținută cu b(x).

Este evident, că prin operația de ridicare la pătrat, semnul expresiei (y_i/k^’_y)² va fi pozitiv, indiferent de semnul variabilei y_i și deci funcția b(x), se va situa pe toată perioada deasupra abscisei.

Aria S_1tot, determinată de graficul funcției a(x) cu abscisa, este:

Dacă graficul este simetric față de abscisă, atunci ariile S₁ și S₂, sunt egale și de semn contrar și deci are loc relația:

Valorile funcției a²(t) ȋn unități specifice (A², V²,..., etc) se pot determina prin relația:

Notăm cu S_2tot, aria determinată de curba graficului b(x) cu abscisa, cu Ag valoarea integralei definite și cu A_p valoarea integralei definite . Ținând cont de relațiile (6.1) și (6.4) avem:

Exemplul 6.2: Ilustrăm utilizarea procedurii 6.1, folosind graficul și datele dn figura 6.3. Avem:

1. Se ȋmparte perioada X=200 mm a funcției reprezentată la scară, având factorii de scală k_x=0,0002 s/mm și k_y=2,5 V/mm, ȋntr-un număr de 12 părți egale, conform figurii 6.3;

2. Se notează funcția reprezentată la scara specificată cu a(x) și se construiesc ȋn sistemul de coordonate ale graficului acestei funcții, segmentele de dreaptă paralele cu ordonata, prin fiecare punct deteminat la pasul 1 și afișate ȋn figura 6.3;

3. Se marcheză la intersecția fiecarui segment i cu graficul funcției, coordonata y_i, conform figurii 6.3;

4. Se determină valoarea y_max și avem y_max=100 mm;

5. Pentru determinarea factorului de scală auxiliar k^’_y, se procedează ȋn modul următor:

- se extrage radical de ordinul 2 din y_max și avem ;

- se aproximează la cel mai apropiat intreg (10 ȋn acest caz) și se adoptă k^’_y=10;

6. Valorile expresiilor (y_i/k^’_y)², au fost notate cu albastru ȋn figura 6.3;

7. Prin unirea punctelor rezultate, prȋntr-o linie curbă continuă de culoare albastră, s-a reprezentat curba b(x) din figura 6.3.

Făcând un exercițiu asemănător cu cel de la exemplul 6.1, sau utilizând proiectarea asistată, se calculează aria ȋnchisă de graficul curbei a(x) cu abscisa și rezultă (observând și simetria față de abscisă) S_1tot=0 , de unde rezultă A_g=0 . Se repetă exercițiul și pentru graficul funcției b(x) și rezultă S_2tot= 6648,441, de unde rezultă .

Se știe din cursul de bazele electrotehnicii, ca valorile medii și efective ale unor funcții periodice de timp a(t) sunt date de relațiile:

Tot din cursul de bazele electrotehnicii, avem:

Unde T, este perioada, iar f frecvența mărimii periodice considerate.

 

Cu datele din exemplul anterior, avem s, unde X este perioada funcției a(x) iar frecvența Hz.

Din relațiile (6.8) și (6.9) rezultă:

Cu datele din exemplul 6.2, rezultă V.

Iată deci că am reușit să calculăm prin mijloace geometrice, atât componenta continuă A (identică de fapt cu A_med) cât și valoarea efectiva A_e, a unei marimi periodice.

Exemplul 6.3: Prin ȋnfășurarea primară a transformatorului unui convertor Fly Back ȋn mod continuu [3] se stabilește un curent i(t) având valoarea de vârf I_max=1,28 A și valoarea diferenței de curent pe timpul activ (T_on) ΔI=0,3 A. Perioada curentului nesinusoidal, este s, iar timpul perioadei active al curentului este s.

Se reprezintă ȋntr-un sistem de coordonate xOy, graficul echivalent i(x) folosind factorii de scală k_x= s/mm și A/mm.

Coordonatele punctelor remarcabile ale graficului se stabilesc conform relațiilor:

Unde pentru relațiile (6.12) și (6.12’) mărimile A_i și ΔA_i, se ȋnlocuiesc ȋn cazul de față respectiv cu I_i și ΔI_i, i fiind indicele curent al variabilelor considerate. Avem: s și s. Cu relația (6.11) rezultă ȋn mod corespunzător mm și mm. Avem A și A. Cu relația (6.12) rezultă ȋn mod corespunzător mm și mm.

Ȋn figura 6.4, este reprezentat cu roșu, graficul funcţiei i(x) rezultat prin transpunerea in plan a funcției i(t) folosind datele calculate mai sus.

Suprafața totală S_1tot determinată de grafic cu abscisa, fiind aria unui trapez, se calculeaza cu relația:

De unde rezultă aria echivalentă:

Din relația (6.8’) rezulta:

Din graficul din figura 6.4, rezultă mm. Din procedura 6.1 și exemplul 6.2, rezultă . Funcția round(x) realizează rotunjirea variabilei x, la cel mai apropiat ȋntreg. Pentru divizarea domeniului de variație al abscisei curbei j(x) asociată funcției i²(x) se alege un singur interval, având capetele ȋn punctele x₁=65,8 și x₂=100. Valorile corespunzătoare funcției j(x) asociată funcției i²(x) pentru aceste puncte vor fi și .

Ȋn figura 6.5, este reprezentat cu albastru, graficul redus (rescalat) cu factorul k^’_y al funcţiei j(x) cu aplicație la exemplul 6.3. Aria suprafeței totale S_2tot, determinate de funcția j(x) cu abscisa, este aria unui trapez și avem:

Din relația (6.7) rezultă aria echivalentă:

Din relația (6.9’) rezulta:

Ȋn figura 6.6 este ilustrat curentul periodic nesinusoidal rezultat cu datele calculate anterior la exemplul 6.3. Din relația (5.2) rezultă componenta alternativă a curentului periodic nesinusoidal reprezentat ȋn figura 6.6.

Cei care, dintr-un motiv sau altul nu vor utiliza programul de proiectare asistată, pot construi și prelucra o curbă de variație a unui curent sau tensiune, ȋn modul urmator:

Procedura 6.2

1. Se obține de pe Internet, sau prin fotografiere directă cu un aparat fotografic digital de pe ecranul unui osciloscop, curba care interesează;

2. Se descarcă fotografia pe computerul personal și se salvează ca fisier imagine;
3. Se mărește o porțiune din fotografie, acoperind o perioadă completă, pănă la limita de claritate;
4. Dacă detaliul obținut la pasul 3, este mai mare decât un format A4, atunci se prelucrează cu ajutorul programului Paint din Windows, până ce imaginea se poate ȋncadra ȋntr-un asemenea format;
5. Se printează la imprimantă pe un format normal A4 (coală albă) o copie a imaginii prelucrate ca mai sus;
6. Se prelungesc cu ajutorul unei rigle drepte, liniile reprezentând axele de coordonate, până către marginile corespunzătoare ale colii;
7. Se ia o coala de format A4 prvăzută cu grilă-rețea milimetrică și se prinde ȋn cele 4 colțuri cu câte o pionieză, pe o planșetă din lemn de esență moale;
8. Peste această coală, pe care se trasează viitoarele axe de coordonate, se aplică coala cu desenul, astfel ȋncât cele două axe să coincidă și se fixează ȋn mod precis, cu ajutorul unor crâmpeie de bandă adezivă transparentă;
9. Cu ajutorul vârfului unui ac, se marchează prin străpungere, punctele remarcabile ale graficului;
10. Se ȋndepărtează desenul printat și se desenează graficul pe coala milimetrică cu ajutorul unui pix cu gel de o anumită culoare, prin linii de interpolare trasate ȋntre urmele rămase prin strapungere;
11. Se stabilesc și se ȋnscriu pe graficul funcției notată cu a(x) ȋntocmit pe coala milimetrică, perechile de coordonate pentru toate punctele remarcabile marcate la pasul 9;
12. Se stabilesc și se ȋnscriu pe același desen, cu o altă culoare, perechile de coordonate ale funcției b(x)=a²(x).

Există cazuri ȋn care se dispune de oscilograme ale curentului sau tensiunii, fără a avea amănunte asupra scărilor de unități specifice per diviziune, dar este cunoscută valoarea efiectivă a acesora, alaturi de frecvența de comutație – mărimi ȋn general ușor de măsurat. Se pune problema determinării tuturor celorlalți parametri ai curentului sau tensiunii considerate. Ȋn aceste cazuri se poate face o reprezentare grafică suficient de exactă a graficului funcției considerate. Cunoscând valoarea perioadei funcției T=1/f (prin măsurarea frecvenței) și determinând prin calcul valorile S_1tot și S_2tot ale ariilor determinate cu abscisa ale funcțiilor a(x) și b(x) asociate funcţiilor a(t) și respectiv a²(t) se pune problema determinării tuturor valorilor remarcabile ale funcțiilor a(t) și respectiv a²(t) precum și valorile medie A_med și respectiv a componentei alternative A_a, ale mărimii periodice nesinusoidale. Ȋntrucât valoarea factorului de scală k_x, este direct determinabilă, cunoscându-se perioadele corespunzătoare T ȋn secunde și X ȋn mm, ramâne de determinat doar valoarea factorului de scală k_y, factor ce nu poate fi determinat ȋn mod direct, datorită necunoașterii amplitudinii curentului sau tensiunii. Acest factor va fi dat de relația:

Pe baza exemplului de proiectare al unui convertor push-pull din lucrarea [4] vom considera aici urmatorul exemplu.

Exemplul 6.4:

Prin secțiunile ȋnfășurării secundare ale transformatorului unui convertor Push-Pull, se stabilesc curenții având forma descrisă de oscilograma din figura 6.8 – vezi lucrarea [4]. Frecvența de comutare, pe care presupunem că am obținut-o prin măsurare cu un frecvențmetru, este f=250 kHz. Curentul efectiv indicat de [4] dar pe care presupunem că l-am determinat prin măsurare directă cu un ampermetru de curent

alternativ, este I_e=3,02 A. Orientativ, s-a reprezentat schema etajului final al convertorului ȋn figura 6.7.

Ȋn figura 6.9, sunt reprezentate curbele i₁(x) și i₂(x) atașate curenților i₁(t) și i₂(t) prin fiecare dintre componentele diodei D₁. Ȋn figura 6.10 s-a reprezentat funcția rescalată i₁(x) atașată curentului periodic nesinusoidal i₁(t) determinat pe perioada de conducție a tranzistorului Q₁ al schemei din figura 6.7, printr-una dintre secțiunile transformatorului T₁. Cei care nu vor utiliza din motive diferite proiectarea asistată, vor putea utiliza procedura 6.2 pentru stabilirea grafică a funcțiilor atașate acestor curenti. Curentului i₂(t) determinat de conducția tranzistorului Q₂, i se va asocia o curba identică i₂(x) dar decalată cu o jumatate de perioadă pe axa absciselor, fața de curba i₁(x).

Tot ȋn figura 6.10, s-a reprezentat cu trasă de culoare mov, graficul j₁(x) atașat funcției . Este evident că cei doi curenți i₁(t) și i₂(t) se vor ȋnsuma ȋn circuit, după redresare și vor determina un curent i(t) având asociată o funcţie i(x). Graficul acestui curent, se poate obține prin ȋnsumarea valorilor ordonatelor funcțiilor i₁(x) și i₂(x). Ȋntrucât ȋnsă valoarea efectivă a curentului, s-a măsurat doar printr-una dintre componentele diodei D₁, vom studia ȋn continuare curba reprezentată ȋn figura 6.10. Valorile suprafețelor S_1tot și S_2tot, ȋnchise de curba i₁(x) și respectiv j₁(x) cu axa absciselor, au fost calculate prin metoda ȋnsumării suprafețelor elementare de formă trapezoidală și au fost specificate ȋn figura 6.10. Valoarea factorului de scala al abscisei pentru curba i₁(x) din figura 6.10, este determinabilă ȋn mod direct și este s/mm. Valoarea factorului de scala auxiliar, pentru reducerea dimensiunilor funcției i²(x) este și s-a obținut conform procedurii 6.1.

Ținând cont că ȋn relația 6.15 rolul valorii efective A_e, este deținut ȋn acest caz de curentul efectiv I_e, avem:

Cu valorile factorilor de scală calculate astfel, rezultă din relațiile (6.1’) și (6.7):

Din relatiile (6.8’) și (6.9’) rezultă respectiv:

Din a doua relație, regăsim valoarea furnizată de lucrarea [4] ceea ce reprezintă o verificare a corectitudinii calculului.

Ȋntrucât I=I_med, rezultă valoarea componentei alternative, din relația (5.2)

Ȋn graficul din figura 6.10, ȋnmulțind valorile particulare ale absciselor cu coeficientul de scala k_x și valorile particulare ale ordonatelor cu k_y, se obțin coordonatele punctelor remarcabile ale curbei i₁(t) așa dupa cum rezultă din figura 6.11. Avem:

Ȋn relațiile de mai sus, mărimea ε este o mărime neglijabilă, introdusă pentru a sugera că ȋntre perechile de puncte A și B; C și D, E și F, G și H, valorile diferite ale funcției se datorează unei variații neglijabile ale argumentului x. S-a făcut această distincție, datorită simplificării graficului. Ȋn realitate porțiunile de curbă AB, CD, EF și GH nu vor fi niciodata linii paralele cu axa ordonatelor, asa cum au fost ele aproximate ȋn acest articol. De asemenea, marimea I_O, reprezintă valoarea curentului ȋn originea sistemului de coordonate și este diferită de valoarea I, cu care s-a notat ȋn capitolele anterioare componenta continuă a spectrului de frecvențe a seriei Fourier.

Bibliografie:

1. S.N. Sokolov – Culegere de Probleme Pentru Radioamatori – Traducere din limba rusă, completată. București, Editura Tehnică 1971.

2. R.W. Erickson – Fundamentals of Power Electronics. Accompanying material for instructors.
3. Michele Sclocchi (Application Engineer) – SWITCHING POWER SUPPLY DESIGN: CONTINUOUS MODE FLYBACK CONVERTER, National Semiconductor.
4. Michele Sclocchi (Application Engineer) – SWITCHING POWER SUPPLY DESIGN: LM5030 PUSH-PULL CONVERTER, National Semiconductor.

    

Articol realizat de ing. Nicolae Olaru

---

---

---

---