Aproximarea unei fracţii zecimale, ca produs de una până la trei fracţii ordinare

O mare problemă înainte de apariţia şi dezvoltarea mijloacelor de calcul electronic a fost aproximarea unui număr fracţionar scris în sistem zecimal şi având un număr mare / nedeterminat de cifre după virgulă. Multe dintre tehnologiile mecanice din practica industriala, utilizează reductoare cu raport de transmitere reglabil prin aşanumitul mecanism cu roţi dintate de schimb. Înainte de apariţia şi dezvoltarea mijloacelor de calcul electronic (prin anii '70 ... '80) era o grea încercare, chiar şi pentru un inginer cu experienţă în domeniu să găsească una, sau mai multe fracţii ordinare, care înmulţite între ele să aproximeze suficient de exact un număr fracţionar scris în sistem zecimal.

Pentru conformitate vom defini ad-hoc termenii utilizaţi în acest articol:

1. Fracţia ordinară, (sau pur şi simplu fracţia) este termenul folosit în aritmetică pentru a denumi un numar raţional. Numarul de sub linia de fracție se numește numitor şi arată în câte părți egale a fost împărțit întregul, iar cel de deasupra se numește mumărător, arătând câte părți au fost luate în considerare. Spre exemplu 1/7 este o fracţie ordinară sau fracţie;
2. Fracţia zecimală sau numărul zecimal, reprezintă în acceptul prezentului articol rezultatul împărţirii a două numere naturale oarecare, scris în baza 10. Spre exemplu numărul 0.14285714285714285714285714285714..., care se obţine prin împărţirea unitaţii în 7 parţi egale;
3. Fracţia zecimală periodică simplă reprezintă o fracţie care în reprezentare zecimală conţine o secvenţa de numere, care se repetă periodic (după virgulă) de un număr nedeterminat de ori. Spre exemplu la fracţia periodică simplă 0.(142857) secvenţa numerică 142857 se repetă de un număr nedeterminat de ori imediat după virgulă. Avem în mod evident  0.(142857) = 0.14285714285714285714285714285714... = 1/7. Secvenţa periodică se va scrie între paranteze rotunde;
4. Fracţia zecimală periodică mixtă, reprezintă acea fracţie zecimală care conţine după virgulă, o secvenţă de numere care nu se repetă periodic, urmată de o secvenţă de numere care se repetă periodic. Spre exemplu 0.08(3) = 0.08333333333333333333333333333333... = 1/12. Secvenţa periodică se va scrie între paranteze rotunde;
5. Fracţia zecimală neperiodică este o fracţie la care orice secvenţă de cifre aleatoriu aleasă, nu se va repeta în mod periodic;
6. Dacă A/B este o fracţie ordinară aproximantă a fracţiei zecimale K oarecare, atunci eroarea acceptabilă ε, este un număr zecimal suficient de mic ales, astfel încât să satisfacă condiţia –ε≤A/B–K≤ε . Se poate utiliza şi o eroare acceptabilă absolută, dacă este satisfacută condiţia |A/B–K|≤ε, unde |x| reprezintă modulul numărului x.

Fară a face o demonstraţie, se poate considera că o fracţie zecimală periodică (simplă sau mixtă) sau neperiodică, dar conţinand o secvenţă limitată de cifre după virgulă, reprezintă un număr raţional, adică acel număr care se poate pune sub forma unei fracţii ordinare de forma A/B. În aceeaşi ordine de idei, o fracţie zecimală neperiodică, având după virgulă o secvenţă nelimitată de cifre, reprezintă un număr iraţional, adică un număr care nu poate fi pus sub forma unei fracţii ordinare de forma A/B. Ca exemple de numere iraţionale se pot da numerele:

e = 2.7182818284590452353602874713527..., π = 3.1415926535897932384626433832795..., etc.

În general este greu de analizat, dacă o secvenţă de cifre după virgulă este periodică sau nu. Spre exemplu, avem

2/19 = 0.105263157894736842105263157895... = 0,(105263157894736842).

Dacă însă s-ar fi dat numărul ca rezultat al unui calcul pe un sistem electronic, care are un număr limitat de cifre după virgulă (spre exemplu 18 cifre) atunci am fi putut vedea doar secvenţa 0.105263157894736842... care nu permite determinarea unei parţi periodice. Atât în cazuri de acest fel, cât şi în cazul numerelor zecimale iraţionale, se cere a se determina fie o fracţie A/B, fie un produs de mai multe fracţii ( de regulă maximum trei) A/B·C/D·E/F·..., care să aproximeze suficient de precis (cu eroarea ε) acest număr, în aşa fel încât A, B, C, D, E, F, ..., etc, să fie numere întregi care se încadrează între anumite limite cunoscute sau impuse de operator, şi / sau satisfăcând anumite relaţii între ele. Pentru a determina numerele întregi A, B, C, D, E, F, ... , etc, se utilizează o serie de teoreme şi procedee matematice, cum ar fi teorema împărţirii cu rest, algoritmul lui Euclid, precum şi procedeele de descompunere şi / sau scriere ale unui număr zecimal în fracţie continuă. Se va ţine de asemenea cont de noţiuni precum cel mai mare divizor comun (cmmdc) a două sau mai multe numere, precum şi de alte concepte şi rezultate din matematica.

Aşadar, o primă încercare de obţinere a numerelor întregi A, B, C, D, E, F, ..., etc, se poate face în cel mai simplu mod posibil astfel. Fie spre exemplu numărul zecimal

Notăm cu K'=A'/B' un aproximant oarecare al numărului zecimal K. Ne propunem spre exemplu o eroare minimum necesară ε=10^-6 (10 la puterea -6) însemnând că diferenţa dintre numerele K' şi K trebuie să fie cuprinsa în intervalul [-ε, ε]. Matematic vom scrie această condiţie cu ajutorul relaţiei:

Se stabileste un număr de cifre exacte după virgulă necesar a fi obţinut, şi care trebuie să fie mai mare sau cel puţin egal cu modulul exponentului mantisei lui ε. în acest caz multiplicatorul fiind 1, iar mantisa fiind 10^-6, va trebui să consideram după virgulă cel puţin primele 6 cifre exacte. Vom avea aşadar

Putem însă să alegem un număr de 7 cifre semnificative după virgulă, astfel încât orice operaţii am face ulterior, eroarea practic obţinută (calculată cu ajutorul relaţiei 2) să fie mai mică decât eroarea aplicabilă ε. Se vede că fracţia 998877/1000000 din relaţia (3) nu se poate simplifica, deoarece singurii divizori ai numitorului sunt 2 şi 5. Aceştia nu se află printre divizorii numărătorului, care admite factorizarea 998877=3·11·30269, având numărul prim 30269>157.

Notăm cu K''=A''/B'' un aproximant cu un ordin mai precis, adică luam primele 6+1=7 cifre exacte de după virgulă, ale numărului K

Fracţia (1248597/1250000) din relaţia (3') nu se mai poate simplifica, deoarece singurii divizori ai numitorului fiind 2 şi 5, ei nu pot divide numărătorul, care admite factorizarea 3·3·7·19819, cu numărul prim 19819>157.

Din punct de vedere tehnic, numerele de la numărător şi respectiv numitor pot reprezenta spre exemplu numărul de dinţi al unor roţi dinţate. Având în vedere tehnologia uzuală de producere a acestor roţi dinţate (cu dinţi drepţi) precum şi dimensiunile disponibile în cadrul mecanismului cu roţi dinţate de schimb, în mod uzual acest număr de dinţi va fi limitat atât inferior, din cauza condiţiilor tehnologice impuse în procesul specific de danturare, cât şi superior pentru a putea fi montate în condiţii normale în cadrul acestui mecanism. Dacă vom considera cazul unor roţi de schimb de modul m = 1.25 mm, putem lua ca limite capetele domeniului închis [20, 157]. Sub 20 de dinţi, o roată dinţată cu dinţi drepţi se poate realiza numai în condiţii de angrenare speciale, iar peste 157 de dinţi, dimensiunile de gabarit vor depaşi posibilităţile de montare în cadrul mecanismului propriu-zis. Avem aşadar condiţiile obligatorii pentru exemplul luat

condiţii care nu pot fi respectate nici în cazul relaţiei (3) şi nici în cazul relaţiei (3'). Este însă evident că în cazul relaţiei (3) eroarea data de relaţia (2) va fi ε' = K' – K= -6.65544332211·10^-7, în timp ce în cazul relaţiei (3') ea va fi ε'' = K'' – K= -6.5544332211·10^-8, ambele erori fiind mai mici decât eroarea aplicabilă ε.

În acest articol, se va arăta modul de obţinere a numerelor A, C, E, etc (numărătorii fracţiilor căutate) şi B, D, F, ... etc (numitorii acestora) pornind de la aşanumita metodă a fracţiilor conjugate, vezi sursa bibliografică [1]. Prin definiţie, două fracţii ordinare a/b şi respectiv c/d se numesc conjugate dacă există setul de condiţii

Prin respectarea condiţiilor (5) este asigurată existenţa determinantului particular

Fracţiile conjugate definite prin setul de relaţii (5) au următoarele trei proprietăţi de bază:

Suma numărătorilor şi suma numitorilor formează o fracţie care respectă relaţia

Prin amplificarea fracţiilor conjugate cu m şi respectiv cu n, are loc relaţia

Dacă fracţiile m1/n1 şi m2/n2 sunt conjugate, atunci fracţiile

sunt şi ele conjugate, adică există implicaţia logică

unde "˄" reprezinta operatorul logic "and" (şi).

O fracţie zecimală, poate fi dezvoltată în fracţie continuă utilizând relaţia

unde C1, C2, ..., Cn sunt câturi parţiale (numere întregi) care se pot determina folosind schematizarea din Tabelul 1.

Tab. 1 – Schema pentru descompunerea lui K în fracţie continuă

Forma cea mai la îndemână a fracţiei ordinare corespunzătoare numărului zecimal K (raportul de transfer) se obţine înmulţind şi împărţind acest număr cu 10^18, unde exponentul bazei 10 (18 în acest caz) este egal cu numărul cifrelor semnificative de după virgulă ale numărului zecimal K. Se obţine astfel fracţia ordinară 998877665544332211/1000000000000000000. În prima linie a tabelului 1 (în coloana corespunzătoare deâmpărţitului) se scrie numărătorul 998877665544332211. Numitorul 1000000000000000000 se scrie în prima linie a tabelului, în coloana corespunzătoare împărţitorului. Se face împărţirea în conformitate cu teorema împărţirii cu rest:

998877665544332211/1000000000000000000 = 0 + 998877665544332211.

În prima linie în coloana corespunzătoare câtului se trece rezultatul împărţirii (0) iar în ultima coloana (corespunzătoare restului) se trece restul 998877665544332211. Conţinutul celei de a doua coloane a primei linii, se trece în coloana deâmpărţitului din linia următoare, respectiv prima. Numărul din coloana restului a primei linii se trece în coloana împărţitorului din linia următoare, respectiv a doua. Efectuăm împărţirea noului deâmpărţit prin noul împărţitor, în conformitate cu teorema împărţirii cu rest şi avem:

1000000000000000000/998877665544332211 = 1 + 1122334455667789.

Scriem noul cât (1) în coloana câtului din linia a doua şi noul rest (1122334455667789) în coloana restului aceleiaşi linii. Procedăm în mod similar ca la primul pas şi trecem împărţitorul din linia a doua în coloana deâmpărţitului a liniei următoare, şi restul din linia a doua în coloana împărţitorului din linia următoare. Efectuăm împărţirea noului deâmpărţit prin noul împărţitor, în conformitate cu teorema împărţirii cu rest şi avem:

998877665544332211/1122334455667789 = 890 + 1.

Scriem noul cât (1122334455667789) în coloana câtului din linia a patra şi noul rest (1) în coloana restului aceleiaşi linii. La fel ca şi în precedentele cazuri, împărţitorul devine deâmpărţit, iar restul devine împărţitor:

1122334455667789/1 = 1122334455667789 + 0.

Întrucât ultimul rest este zero, algoritmul dezvoltarii numărului zecimal K în fracţie continuă se încheie aici. În tabelul 1, săgeţile roşii suprapuse tabelului arată cum se mută împărţitorul şi respectiv restul din linia anterioara în linia curenta. Deşi nu foloseşte scopului pe care ni l-am propus, putem acum vizualiza, cum arată fracţia continuă concret obţinută, înlocuind câturile parţiale în relaţia generală (10) şi avem:

Dacă acum dorim să facem o verificare, atunci putem să restrângem pas cu pas fracţia (10') după regulile cunoscute şi vom ajunge la forma iniţiala a fracţiei ordinare 998877665544332211 / 1000000000000000000, iar dacă vom efectua împărţirea vom regăsi raportul de transfer iniţial K=0.998877665544332211.

Dacă privim cu atenţie fracţia zecimală de la care s-a pornit, putem să tragem concluzia că o primă aproximare (grosolană) a acesteia este raportul 1/1 ≈ 0.998877665544332211. Cunoaştem aşadar numărătorul (1) şi numitorul (1) unei fracţii ordinare aproximante precum şi numărul 890, pe care putem sa-l privim fie ca pe numărătorul, fie ca pe numitorul unei fracţii conjugate, adică 890/x, respectiv x/890. Aplicăm setul de condiţii (5) perechii de fracţii 1/1 şi 890/x şi avem:

Din implicaţia celei de-a doua relaţii din (11) rezultă două radacini x1=889 şi x2=891. Vom avea aşadar două fracţii ordinare, care pot forma împreună cu fracţia ordinară 1/1 următoarele fracţii conjugate:

Calculăm utilizând relaţia (2) eroarea în cele două cazuri:

Din setul de relaţii (12) se vede că eroarea fracţiei ordinare 890/891 este cuprinsa în intervalul [-ε, ε] iar în valoare absolută este cu mult mai mică decât ε=10^-6, în timp ce eroarea fracţiei 889/890 se situează înafara domeniului considerat, chiar dacă în valoare absolută este apropiată ca valoare lui ε=10^-6. Ultima parte a problemei constă în factorizarea numerelor 890 şi respectiv 891. Deoarece numărul de dinţi al unei singure roţi nu poate depăşi 157, vom considera lista factorilor primi mai mici decât 157. Această lista este: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157. Cea mai complicată şi consumatoare de timp operaţie, cu care se confruntă utilizatorul este factorizarea unui număr, mai ales atunci când numărul are mai mult de 4 cifre semnificative.

Odată stabilită lista factorilor primi mai mici decât 157, purcedem la factorizarea numerelor 890 şi 891. Factorizarea lui 890 se face rapid. Avem 890=2·5·89, 89 fiind număr prim, în conformitate cu lista. Pentru numărul 891, găsim încercând rând pe rând dacă se divide prin factorii primi din lista de mai sus, factorizarea 3·3·3·3·11=891. Se poate scrie deci:

Penultima fracţie a relaţiei (13) se analizează, şi constatăm că numerele 10 şi 11 nu sunt acceptabile, fiind mai mici decât numărul minim de 20 de dinţi disponibil. S-au notat cu A, B, C şi D, cele 4 roţi minimum necesare pentru a echipa un mecanism cu roţi de schimb, pentru a putea face un transfer de la intrarea la iesirea mecanismului având factorul de transfer

K=890/891=0.99887766554433221099887766554433,

trebuie precizat că din cauza condiţiilor tehnologice, dacă o pereche de roţi dinţate în angrenare directă (spre exemplu perechea A şi B) fac o reducere (adică au un factor de transfer direct subunitar) atunci există condiţia tehnologică A/B≥0.25. Dacă însă roţile fac o multiplicare, adică factorul direct de transfer este supraunitar, atunci există condiţia tehnologică A/B≤2. Astfel stând lucrurile, putem scrie condiţia generală

0.25≤A/B≤2  (14)

condiţie valabila pentru oricare alte două roţi în angrenare directă.

Putem aranja lucrurile astfel încât A/B=89/81≈1.1, adică A=89 şi B=81, numere de dinţi care satisfac condiţia (14). Mai departe observam că roţile B şi C sunt şi ele în angrenare directă, la fel ca şi roţile C şi D. Deoarece după desemnarea raportului A/B ne-a ramas disponibil raportul 10/11, obţinem raportul C/D=50/55≈0.91 prin amplificarea numitorului şi numărătorului cu 5, raportul direct satisfăcând condiţia (14). Se confirmă şi faptul că raportul direct B/C=81/50=1.62 satisface condiţia (14). Aşadar, după toată această muncă de lungă durată, făcută doar cu creionul pe hârtie, şi având eventual un calculator de buzunar pentru calcule directe, s-a ajuns la soluţia fezabilă

Sunt posibile şi fezabile şi următoarele soluţii:

S-a analizat mai sus un exemplu simplu, în care soluţia nu a trebuit să fie căutată prea mult, deşi cu creionul pe hârtie şi cu calculatorul de buzunar la dispoziţie, un asemenea calcul durează cel puţin 2 ore. Vom lua în continuare un alt exemplu.

Fie K=0.111222339944555666 raportul de transmitere al unui mecanism cu roţi dinţate de schimb. Pentru a nu pierde timp pretios, depăşim etapa tatonărilor preliminare şi trecem direct la dezvoltarea în fracţie continuă a raportului K, care s-a făcut în tabelul 2. Se vede din capul locului că dezvoltarea în fracţie continuă este mult mai amplă decât în cazul precedent, de unde şi un volum de muncă mult mai mare cu creionul pe hârtie şi cu calculatorul de buzunar la dispoziţie. De aceea, pentru a găsi mai repede fracţii conjugate elementare, se va face următoarea inovaţie - a se vedea lucrarea bibliografica [1]. Se întocmeşte schema explicită din tabelul 3. În celulele de tabel colorate în galben, se introduce secvenţa 0 şi 1 dacă factorul K este subunitar, sau secvenţa 1 şi 0 dacă factorul K este supraunitar. În celulele de tabel colorate în verde, se introduce secvenţa 1 şi 0 dacă factorul K este subunitar, sau secvenţa 0 şi 1 dacă factorul K este supraunitar. Tabelul va fi completat cu o coloana în plus (ultima) unde se va specifica că a doua linie corespunde câturilor parţiale de ordinul k ale dezvoltarii în fracţie continuă (Ck) a treia linie corespunde numărătorului fracţiei de ordinul k (respectiv Ak) iar a patra corespunde numitorului fracţiei de ordinul k (respectiv Bk). În prima linie se vor înscrie de la 1 la n şirul valorilor parametrului k.

În continuare, pentru k≥3, în tabelul 3 se va efectua operaţia

ale cărei rezultate se trec în celulele corespunzătoare ale liniei 3, precum şi operaţia

ale cărei rezultate se trec în celulele corespunzătoare ale liniei 4. Ilustrativ (pentru o mai bună intuitivitate) liniile roşii din schema din tabelul 3, reprezintă operaţii de înmulţire, în timp ce liniile albastre reprezintă operaţii de adunare între factorii / termenii pe care îi unesc. Astfel, în linia 3 a coloanei 3 se va înscrie rezultatul operaţiei 0·1+0=0. În linia 4 a coloanei 3 se va înscrie rezultatul operaţiei 0·0+1=1. În linia 3 a coloanei 4 se va înscrie rezultatul operaţiei 8·0+1=1, iar în linia 4 a coloanei 4 se va înscrie rezultatul operaţiei 8·1+0=8, şi aşa mai departe.

Tab. 2 – Descompunerea raportului de transfer K=0.111222339944555666 în fracţie continuă

Tab. 3 – Schema preliminară de determinare a unor fracţii conjugate

Acest algoritm se va opri dacă numărătorul şi/sau numitorul au prea multe cifre semnificative (spre exemplu peste 6) deoarece este greu de lucrat cu asemenea fracţii, în timp ce soluţiile fezabile sunt din ce în ce mai puţin probabile.

Facem analiza expeditivă a numărătorilor şi numitorilor fracţiilor din tabelul 3 şi constatăm că doar numerele 998, 1000 şi 9555 sunt numere care se pot factoriza până la factori mai mici decât 157, în timp ce celelalte numere aferente numărătorilor şi numitorilor au cel mai mare factor, mai mare decât 157. Până aici am efectuat cu creionul pe hârtie şi cu calculatorul de buzunar, cam tot atâta timp cât ne-a luat să rezolvăm primul exemplu, găsind singura soluţie aplicabilă:

Ultima fracţie numerică este şi o soluţie posibilă şi fezabilă. Dacă am continua tabelul 3 şi cu următorii paşi (după al 12-lea) arareori vom obţine mai multe soluţii, deoarece numerele aferente numitorilor şi numărătorilor devin voluminoase şi este puţin probabil să găsim printre ele un numărător şi un numitor al aceleasi fracţii care să aiba cei mai mari factori, mai mici decât 157.

Obţinerea soluţiei (18) a fost în acest exemplu un caz fericit, deoarece adesea printre fracţiile conjugate obţinute cu algoritmul descris în tabelul 3, nu există niciuna care să poată fi aplicată, fie din cauza condiţiilor neindeplinite, fie din cauza imposibilităţii de a fi factorizate în mod corespunzător. Am utilizat cuvantul "fericit", cu toate că un tren de 6 roţi de schimb nu este de dorit, din cauza timpilor mari necesari lucrărilor de montare – demontare. Cel mai favorabil caz este acela al unui tren de 2 roţi de schimb, în timp ce un tren format din 4 roţi de schimb poate fi considerat bun.

Cel mai adesea, aşa după cum s-a mai spus, la niciuna dintre fracţiile obţinute cu algoritmul din tabelul 3 nu pot fi factorizaţi fie numărătorii, fie numitorii, fie nici unii nici alţii. Presupunând acum că nu s-a obţinut o soluţie, sau că cea obţinută mai sus nu convine din cauza lanţului de 6 roţi de schimb necesare, s-ar mai fi putut face ceva?! Raspunsul este cel mai adesea pozitiv.

Să presupunem că (din anumite considerente) soluţia de mai sus nu este convenabilă. Urmăm algoritmii impusi de proprietăţile a), b) şi c) ale fracţiilor continue. După ce epuizăm toate cazurile posibile, constatăm că nu am reusit să găsim o alta soluţie.

O inovaţie introdusa de subsemnatul în algoritmul acestui calcul a fost următoarea. Fie c/d o fracţie suficient de precisă dintre cele cu numărătorul şi numitorul mai puţin voluminoase, spre exemplu c/d=1000/8991 caracterizata de eroarea absolută |c/d-K|=6.499999995481·10^-9. Se considera de asemenea fracţia a/b cu precizia absolută cea mai mare, în cazul de fata a/b=45664/410565. Fie k=1, 2, 3, ..., un factor număr natural. Fracţia ordinară dată de relaţia

va aproxima suficient de exact raportul iniţial K, chiar dacă odata cu cresterea factorului k eroarea absolută a fracţiei va scadea sub eroarea absolută a fracţiei c/d. Aplicând această inovaţie, s-a obţinut pentru k=4 soluţia 41664/374601, pentru k=35 soluţia 10664/95880, pentru k=40 soluţia 5664/50925 şi pentru k=46 soluţia 336/3021. Prima şi a treia soluţie sunt pentru un tren de 6 roţi de schimb, şi au eroroarile absolute ε=|41664/374601-K|=6.3·10^-10 şi respectiv ε=|5664/50925-K|=4.5917·10^-8. Celelalte două soluţii sunt pentru trenuri de 4 roţi de schimb, şi au erorile absolute ε=|10664/95880-K|=2.13404·10^-8 şi respectiv ε=|336/3021-K|=8.90094·10^-7. Aceste soluţii sunt scrise mai jos, în ordine şi sub forma concentrată:

Repetăm algoritmul păstrând fracţia a/b=45664/410565 utilizată mai sus, dar luând o altă fracţie c/d=1111/9989 din tabelul 3, obţinem pentru k=24 soluţia 19000/170829, pentru k=40 obţinem soluţia 1224/11005, pentru k=44 obţinem soluţia 3220/28951 şi pentru k=45 obţinem soluţia 4331/38940. De fapt, ca şi în cazul anterior soluţiile au fost mai multe, dar s-au eliminat cele neinteresante. Prima, a treia şi a patra soluţie, sunt pentru un tren de 6 roţi de schimb, şi au erororile absolute ε=|19000/170829-K|=6.5·10^-9, ε=|3220/28951-K|=7.03349·10^-8 ε=|4331/38940-K|=5.34812·10^-8. A doua soluţie este pentru un tren de 4 roţi de schimb, şi are eroroarea absolută ε=|1224/11005-K|=1.68204·10^-7. Aceste soluţii sunt scrise mai jos, în ordine şi sub forma concentrată:

În cazul acestui ultim exemplu, nu sunt posibile soluţii de trenuri de două roţi dinţate. Cu cât raportul de transmitere este mai îndepărtat de unitate, cu atât sunt mai puţin probabile astfel de soluţii. Cu cât raportul de transmitere se apropie mai mult de unitate, cu atât această probabilitate creşte. Totuşi aceste soluţii sunt destul de rare, iar insistenţa de a le căuta este ea însăsi o mare pierdere de timp. În plus, roata A se montează în mod obligatoriu pe arborele primar, care transmite miscarea, iar roata B trebuie montată (tot obligatoriu) pe arborele secundar, cel care preia mişcarea. Întrucât cei doi arbori sunt situaţi la o anumită distanţă (fixă) între axe, roţile A si B ale unui tren de două roţi de schimb nu vor angrena decât dacă suma numerelor lor de dinţi satisface relatia dAB=0.5m(ZA+ZB), unde dAB este distanţa dintre axe, iar ZA si ZB reprezintă respectiv numarul  de dinţi al roţilor A şi B. Această condiţie este în general aproape imposibil de atins în practică, şi în consecinţă se va folosi un tren de 4 roţi de schimb, prin adăugarea a două roţi dinţate intermediare având acelaşi numar de dinţi, montate pe lira roţilor de schimb. În general un tren de 4 roţi de schimb se consideră o soluţie bună, iar atunci când raportul de transfer este foarte îndepartat de unitate, este considerată ca acceptabilă chiar şi o soluţie bazată pe un tren de 6 roţi de schimb.

Ca ideie de bază însă, se poate spune că un calcul cu creionul pe hârtie, având la dispoziţie şi un calculator de buzunar, se poate face între două ore (unul foarte simplu perecum primul ilustrat aici) şi 8 ore sau chiar mai mult. Au fost cazuri în care subsemnatul a reuşit să elaboreze un asemenea calcul dificil pierzând mai multe zile, uneori chiar coborând în mod expres valoarea erorii acceptabile (către valori apropiate de 10^-5, sau chiar mai mari) dar numai atunci când acest lucru nu ar fi putut avea repercusiuni asupra calităţii produsului finit. în peste 90 % dintre cazuri însă, am păstrat ştacheta unei valori a erorii aplicabile sub nivelul ε=10^-6. În practică, o roată dinţată (spre exemplu) poate fi fabricată prin metoda rulării cinematice. După ce scula a efectuat mai multe sute ... mii de rotatii, şi dacă numărul total al rotaţiilor efectuate de sculă în timpul prelucrării este sub nivelul de 10^4, atunci nu există pericolul ca eroarea de 10^-6 să fie prea mare. Acest lucru se intampla în majoritatea cazurilor în care se fabrică roţi dinţate împachetate (mai multe roţi identice montate pe acelasi dorn) cu o lungime a danturii mai mică de 100... 120 mm.

Dat fiind faptul că între timp (mai mult de 30 ani) au intervenit şi mijloacele electronice de calcul, precum şi foarte multe programe de software care pot fi utilizate la uşurarea unui asemenea calcul, unul dintre scopurile principale pe care mi l-am propus atunci când am elaborat acest articol este acela de a-i ataşa un fisier elaborat în mod special pentru a face mult mai uşoară sarcina cuiva de a găsi soluţii în astfel de aplicatii tehnologice.

Calculul raportului total de transfer pentru 2, 4 sau 6 roti de schimb.sm

Acest fisier realizat de subsemnatul, se deschide cu Smath Solver, un program de proiectare asistat de calculator cu licenţă publică (el poate fi descărcat de aici) care "ştie" să rezolve problemele în care intervine de obicei matematica. În cazul de faţă automatizarea procesului de calcul, nu este posibilă sau este foarte dificilă, din cauza foarte multor chestiuni legate de o teorie a numerelor, în general greoaie şi accesibilă numai celor iniţiaţi. De aceea am pus accentul doar pe rezolvarea problemelor care solicită timpi mari de rezolvare, în special factorizarea unor numere formate din mai multe cifre, precum şi din efectuarea algoritmilor de găsire a fracţiilor. De asemenea programul este înzestrat cu funcţii specifice, care pot face dezvoltatea unei fracţii zecimale în fracţie continuă şi oferă utilizatorului un vector (matrice coloană) conţinând câturile parţiale ale acestei dezvoltări. Există de asemenea funcţii speciale pentru determinarea celui mai mare divizor comun (cmmdc) al două numere naturale oarecare. Rămâne aşadar ca utilizatorul să se concentreze doar pe aplicarea diferitelor proprietăţi ale fracţiilor conjugate, sau pe algoritmii diferitelor inovaţii speciale, în scopul găsirii unor soluţii cât mai favorabile. Odată deschis fişierul denumit "Calculul raportului total de transfer pentru 2, 4 sau 6 roţi de schimb" utilizatorul va avea în faţă o foaie de calcul Smath, care va arata ca în figura 1.

Fig. 1 – Prim plan al foii de calcul Smath Solver pentru programul aplicat

Primul lucru pe care trebuie să-l facă un utilizator neavizat este să deschidă aria "Indicaţii pentru utilizarea eficientă a calculului", să citească şi să înţeleagă cum funcţionează programul şi ce are de facut utilizatorul. În figura 2 este reprodusă această zonă a programului inclusiv textul, care este reprodus în continuare şi în acest document, pentru conformitate:

Paşi de parcurs:

1. Se introduce raportul de transfer total cu cât mai multe cifre semnificative după virgulă (maximum 18) în caseta verde corespunzătoare din startul programului. Pentru exemplificare s-a ales drept exemplu raportul de transfer K=0.998877665544332211;

2. Programul afisează rezultatele în casetele albastre;

3. Se alege pentru vectorii P şi Q o linie semnificativă pentru un rezultat cât mai precis (linia 3 în exemplu) şi se introduce valoarea numerică a acestei linii în caseta indexului de aproximare κ;

4. Se citeşte eroarea relativă pentru acest caz şi dacă acurateţea rezultatului este convenabilă (spre exemplu err(κ)≤10-6) atunci se schiţează o soluţie convenabilă sub forma unui produs de una, până la trei fracţii ordinare, astfel:

• Dacă P≤157 şi Q≤157 atunci este suficientă o singură fracţie (A/B). Dacă P>157 ˄ ΠP(κ)=P şi / sau Q>157˄ΠQ(κ)=Q, atunci se poate schiţa fie o soluţie cu 4 roţi de schimb (A/B⸱C/D) precum în exemplu, fie una cu 6 roţi de schimb (A/B⸱C/D⸱E/F) unde "&" este operaţia logică şi;
• Dacă ΠP(κ)≠P şi / sau ΠQ(κ)≠Q atunci nu există soluţie, deoarece programul de calcul conduce la inegalităţile ΠP(κ)/P>157 şi / sau respectiv ΠQ(κ)/Q>157, 157 fiind numărul maxim de dinţi pentru o roată dinţată cu modulul m=1.25 mm;

5. Dacă pentru toate indexurile κ posibile avem ΠP(κ)≠P şi / sau ΠQ(κ)≠Q, atunci se poate încerca o soluţie de compoziţie, utilizând proprietăţile fracţiilor conjugate prin utilizarea casetelor de intrare pe fond oranj. Rezultatele sunt afişate în zona rezultatelor, în casete de aaceeaşi culoare. A se vedea în acest sens bibliografia.

Fig. 2 – Aria "Indicaţii pentru utilizarea eficientă a calculului" deschisă prin click pe semnul "+" din stanga

Dacă roţile dinţate au modulul diferit de 1.25, atunci valoarea maximă a numărului de dinţi se va ajusta în mod corespunzător, avându-se în vedere că diametrul exterior maxim al unei roţi de schimb nu trebuie să depăşească 200 mm. Astfel pentru un modul m=1.5 mm, numărul maxim de dinţi va fi 131, iar pentru un modul m=1.75 mm el va fi 113 şi deci se va ajusta vectorul np al numerelor prime din aria de calcul analitic prin ştergerea numerelor prime care depăşesc aceste valori. Pentru fiecare modul diferit de 1.25, se va salva câte un fişier special care se va utiliza numai pentru cazul în care roţile de schimb sunt realizate pe baza acestui modul. În acelaşi mod se va proceda şi dacă utilajul are în componenţă un complet de roţi de schimb specific. Spre exemplu, pentru o freza de danturat românească de tipul FD250, roţile de schimb au modulul m=1.5 mm, iar roata cea mai mare din set are 127 de dinţi.

Observaţie importantă: Fişierul de calcul poate fi salvat cu un rezultat care interesează la un moment dat. Se va evita pe cât posibil deschiderea ariei de calcul analitic, şi (în orice caz) modificarea aleatorie a oricărei relaţii de calcul cuprinsă în această arie. Datele numerice de intrare (vezi casetele verzi / oranj din zona de introducere a datelor) se vor introduce prin selectarea şi modificarea membrului drept al acestora. Nu se va actiona în nici-un fel asupra casetelor albastre / oranj ale rezultatelor calculelor, ale căror membri din dreapta nu se pot modifica. Dacă totusi s-a produs o modificare de orice fel asupra relaţiilor din aria de calcul analitic, sau asupra casetelor din zona de introducerea datelor, sau afisarea rezultatelor, atunci programul va fi resetat fară salvare şi redeschis într-o altă sesiune. Este indicat a se păstra în permanentă cel puţin două fişiere ale acestui program, pentru cazul în care (din orice cauză) unul dintre fişiere este compromis în mod fatal.

Revenim acum la una dintre soluţiile obţinute cu ajutorul inovaţiei sintetizate de relaţia (19). Alegem spre exemplu soluţia (20') în care se observă că fracţia se poate simplifica printr-un cel mai mare divizor comun, care în acest caz este 2^3=8. Avem:

Programul de calcul în Smath sesizează existenţa acestui divizor comun şi face simplificarea în mod automat. În figura 3 s-a reprezentat modul de obţinere a acestei soluţii. În porţiunea liberă (cea de jos, dar poate fi utilizată în egală măsură şi porţiunea laterală din dreapta) dinafara foii de lucru Smath, se programează calculele necesare pentru sintetizarea soluţiilor de tipul celor obţinute cu ajutorul relaţiei (19). Pentru cei care utilizează programul Smath pentru prima dată, menţionez că toate operaţiile aritmetice necesare sunt disponibile într-o bară de unelte denumită "Arithmetic" aflată în partea din dreapta sus a foii de lucru.

O menţiune deosebită trebuie făcută în ceea ce priveste existenţa mai multor semne egal. Există trei semne egal, utilizate în scopuri diferite:

Semnul "꞉꞊" este egalul utilizat pentru o relaţie de definiţie. În membrul din stânga acestui semn, programul nu admite decât un singur simbol literar, utilizat pentru definirea unei anumite constante utilizată în calcul, în timp ce câmpul gol al membrului din dreapta trebuie completat în mod expres de către utilizator cu o valoare numerică, sau cu un alt simbol definit anterior în cadrul programului. O relaţie de egalitate folosind semnul "꞉꞊" poate fi scrisă în foaia de lucru folosind secvenţa de taste "Shift"+":".

Semnul "=" (care poate fi scris în foaia de lucru, inclusiv prin tastarea directă a tastei "=") reprezintă egalul de afisare a unui rezultat numeric în foaia de lucru Smath. Acest egal admite în câmpul din stânga semnului "=" inclusiv o expresie alfanumerică de genul N/n=0.111222361285, aşa după cum se vede în figura 3 sau chiar mai complicată.

Semnul "⹀", care se utilizează ca egalitate de constrângere, şi este folosit numai pentru rezolvarea diferitelor tipuri de ecuaţii în Smath. Cei doi membri ai relaţiei "⹀" admit inclusiv relaţii alfanumerice complexe. Simbolul "⹀" poate fi scris de la tastatură prin secvenţa de taste "Ctrl"+"=" sau prin acţionarea butonului aflat în bara de unelte "Boolean" din drepta foii de lucru Smath. Acest tip de egalitate nu are aplicaţie în cazul programului la care ne referim aici.

Revenim la modul de rezolvare în cadrul programului de referinţă a diferitelor soluţii. Dacă, printre fracţiile definite prin schematizarea din tabelul 3 există una sau mai multe care au o factorizare în conformitate cu condiţiile impuse, atunci aceste soluţii se determină, atribuind variabilei "κ" din zona de introducere a datelor (încadrată şi evidenţiată cu verde) valori cuprinse între 1 şi numărul maxim de elemente disponibile în vectorii P şi Q aferenţi numărătorilor şi respectiv numitorilor acestor fracţii. Atribuirea acestor valori se face selectand membrul drept al relaţiei de definiţie ("κ꞉꞊▪") în cauză, şi modificându-l prin introducerea valorii numerice dorite. Vom putea identifica imediat o soluţie, comparand valoarea elementului Pκ al vectorului P, cu valoarea ΠP(κ) a produsului factorilor primi mai mici decat 157 în care a fost descompus numărătorul, şi respectiv valoarea elementului Qκ al vectorului Q, cu valoarea ΠQ(κ) a produsului factorilor primi mai mici decat 157 în care a fost descompus numitorul. Dacă cele doua seturi de valori comparate sunt respectiv egale, atunci pentru valoarea considerată a lui κ, s-a obţinut o soluţie directă. Astfel, din figura 3 rezulta în mod evident ca pentru κ=5 exista soluţia directa K=1000/8991=0.11122233344455566677788900011122..., care se dovedeste a fi în final un tren de 6 roţi de schimb, adica produsul a trei fracţii ordinare.

Alte seturi de soluţii, pot fi obţinute aplicând proprietăţile fracţiilor conjugate, aşa după cum sunt descrise de relaţiile (7), (8) şi (9). Din experienţa personală a subsemnatului, deşi metoda fracţiilor conjugate are o baza teoretica certă, arareori aplicarea proprietăţilor acestor fracţii conduce la soluţii practice. Acest lucru se întamplă din cauza faptului că atât numărătorii, cât şi numitorii noilor fracţii obţinute, cresc şi devin din ce în ce mai greu de factorizat. De aceea nu voi descrie aici cum se verifică în cadrul programului existenţa unor astfel de soluţii, metoda fiind ea însasi laborioasa din punct de vedere procedural.

Metoda inovativă prezentată de subsemnatul în acest articol, duce mult mai des la găsirea unor soluţii practice, deşi nu se bazează pe o teorie matematică demonstrată în mod riguros. Demonstraţia ar putea fi însă făcută extinzand în relaţia (8) factorii m şi respectiv n, de la mulţimea numerelor naturale, la mulţimea numerelor întregi. Astfel, pentru m=1∈ℤ şi n=–k∈ℤ (pentru k∈ℕ) se va obţine relaţia (19) care stă la baza metodei inovative expusă mai sus. Nu mai rămâne de demonstrat decât faptul că fracţia din relaţia (19) este conjugată în raport cu fracţiile a/b şi c/d, care sunt ele însele conjugate una în raport cu cealaltă, prin ipoteză. Datorită proprietăţii prin care atât numărătorii, cât şi numitorii noilor fracţii devin mai mici decat cei ai fracţiilor iniţiale, şi prin aceasta mai usor de factorizat în condiţiile descrise, voi prezenta în continuare cum se utilizează metoda, şi cum se determină în cadrul programului de referinţă soluţiile acceptabile (din punct de vedere practic) furnizate de ea. Astfel, în figura 3 s-a reprezentat în mod intuitiv modul de obţinere a soluţiei (20').

Fig. 3 – Ilustrarea programării relaţiei (19) pentru obţinerea soluţiei (20')

Astfel, undeva în partea de jos a foii de lucru Smath, se definesc mărimile a, b, c, d şi k care intră în componenţa relaţiei (19). În dreapta acestor relaţii, dar sub acestea, sau cel mult la acelaşi nivel cu ultimele dintre ele, se definesc numărătorul (N=a–k·c) şi respectiv numitorul (n=b–k·d) relaţiei (19). Rezultatul valoric al numărătorului N se trece în caseta de date a numărătorului compozit (pe fundal oranj) în timp ce rezultatul valoric al numitorului n se trece în caseta de date a numitorului compozit (pe fundal oranj) aflate în zona de editare a datelor. Având datele stabilite pentru a, b, c şi d, restul soluţiilor se vor stabili în mod asemănător, dând valori lui k de la 1, până la un număr natural pentru care eroarea absolută errNn va creste peste valoarea ε=10–6. De fapt, atunci când interesează doar o soluţie cu un tren de 4 roţi de schimb, aşa cum este şi soluţia (20') este suficient să se tatoneze parametrul k, până la o valoare la care se obţine prima soluţie de acest fel, deoarece aşa după cum am stabilit anterior întregul calcul se face contra-timp. În final contează inclusiv în cât timp s-a obtinut soluţia dorită. În figura 3 s-a adnotat cu culoarea albastră primul pas al procedurii, adică obtinerea numărătorului şi numitorului fracţiei din relaţia (19), şi trecerea lor în casetele din zona de editare a datelor. Cel de-al doilea pas al procedurii (adnotat cu roşu) constă în verificarea finală a egalităţilor N=ΠN şi n=Πn. În cazul existenţei simultane a acestor egalitaţi, ne interesează conţinutul matricelor FN şi respectiv Fn, care etalează pe prima coloană factorii în ordine crescătoare, iar în coloana a doua avem în dreptul fiecărui factor, ordinul de multiplicare al acestuia. În final rezultă soluţia simplificată:

Există şi un al 3-lea pas al procedurii. Pe o coală de hârtie se combina factorii numărătorului şi cei ai numitorului, astfel încât să se obtină un produs de cât mai puţine fracţii ordinare (în cazul de faţă două) simultan cu respectarea condiţiilor impuse, adică numărul maxim de dinţi al oricarei roţi să fie mai mic sau egal cu 157, iar raportul dintre două roţi în angrenare directă să se situeze în intervalul [0.25, 2]. În anumite situaţii concrete, legate în particular de forma şi amplasarea lirei roţilor de schimb a unei anumite maşini-unelte, mai pot exista şi alte condiţii, cum ar fi limitarea sumei numărului de dinţi a doua roţi dinţate adiacente, etc. Astfel se observă că grupând la numitorul ultimei fracţii, se poate obtine (5·17)·(3·47)=85·141, de unde rezultă şi soluţia:

în care roţile având numărul de dinţi A=31, B=85, C=43 şi D=141 satisfac simultan condiţiile enunţate. În final, tot calculul prin care s-a ajuns la soluţia (20') a durat undeva în jurul a 20... 30 de minute, timp în care au fost incluse şi tatonările parametrului k, de la 1 până la 35.

Fig. 4 – Desenul unei lire pentru montarea roţilor de schimb şi amplasarea roţilor A, B, C şi D obţinute în soluţia (20'a)

În figura 4 s-a ilustrat desenul şi dimensiunile unei posibile lire pentru montarea roţilor de schimb, echipată cu trenul de 4 roţi A, B, C şi D rezultate din soluţia (20'a). Mişcarea se preia de la roata A (amplasată în centrul de pivotare al lirei) solidară cu arborele primar şi se transmite prin intermediul roţilor B şi C către roata D situată înafara lirei solidară cu arborele secundar. Poziţia relativă a acestor doi arbori este caracterizată de dimensiunile 245 şi 31 mm. Poziţia arborelui secundar este marcată printr-un cerc rosu sectorizat în cvadratură. Lira roţilor de schimb este prevazută cu 4 canale pentru poziţionarea roţilor de schimb, notate în figură cu k', k'', k''' şi k''''. Cercurile de divizare (angrenare) ale roţilor au fost reprezentate cu linie – punct albastră. Se poate observa că roata A nu poate angrena în nici-o situaţie de amplasare cu roata B, care a fost reprezentată în trei poziţii posibile la capatul din stânga al canalelor k', k'' şi k''' fiind notată respectiv cu B', B'' şi B'''. De aceea soluţia (20'a) a fost revizuită şi s-au notat roţile de schimb cu A=43, B=141, C=31 şi respectiv D=85, obţinându-se soluţia:

soluţie care nu schimbă valoarea aproximantă a raportului de transfer K, care în acest caz este de aproximativ 0.11122236 şi are o eroare absolută de 2.13404·10^-8, aşa după cum reiese şi din figura 3. Roţile au fost reamplasate pe liră, aşa cum s-a reprezentat în figura 5.

Fig. 5 – Desenul unei lire pentru montarea roţilor de schimb şi amplasarea roţilor A, B, C şi D obţinute în soluţia (20'b)

Revenind la soluţia (20'a) ea este totuşi utilizabilă, spre exemplu în cazul în care nici soluţia (20'b) nu ar fi dus la o situaţie favorabilă de amplasare a roţilor pe liră, astfel încât să se asigure angrenarea lor corectă. În figura 6 s-a reprezentat o soluţie cu utilizarea a două roţi de schimb intermediare notate cu I' şi I'', având acelaşi numar de dinţi, 75 în acest caz. Soluţia este echivalentă cu transformarea unui tren de 4 roţi de schimb într-un tren de 6 roţi de schimb descris de relaţia:

Fig. 6 – Desenul unei lire pentru montarea roţilor de schimb şi amplasarea roţilor A, B, C şi D obţinute în soluţia (20'a) cu ajutorul a două roţi intermediare I' şi I'' suplimentare având acelaşi număr de dinţi

Comparand figurile 5 şi 6, devine evident de ce este preferabilă o soluţie cu 4 roţi de schimb, unei soluţii având 6 roţi de schimb. Timpul de montare – demontare a trenului de 4 roţi de schimb este cu cel puţin 33,(3) % mai mic decât în cazul montării – demontării unui tren de 6 roţi de schimb. De aici rezultă şi de ce la proiectarea procesului tehnologic este recomandabil a se căuta cu insistenţă o soluţie cu un tren de 4 roţi de schimb, cu toate că se măreşte timpul de căutare prin utilizarea programului în Smath. Este recomandabil a se pierde un timp mai mare la proiectarea unui proces tehnologic, având în vedere că soluţia obţinută poate fi aplicată de mai multe ori pentru serii de producţie unicat sau serie mică. Timpul normat pentru montarea – demontarea unui tren de 6 roţi de schimb la o freză universală (spre exemplu) este de 60 de minute, de unde rezulta ca pentru montarea a numai 4 roţi de schimb vor fi necesare numai 40 de minute. Dacă în producţie se lansează un singur produs, este evident că preţul de producţie va fi mai mic în cazul utilizarii unui tren de 4 roţi, comparativ cu utilizarea a 6 roţi de schimb.

În concluzie cei care au în dotare maşini unelte care utilizează reglajul dintre turaţie şi avansul tehnologic printr-un mecanism cu roţi de schimb, au un motiv în plus să nu renunţe la aceasta în favoarea CNC-urilor. O maşină de frezat universală pentru sculărie (FUS) romaneasca care are o singură lira pentru roţi de schimb, poate fi utilizată foarte eficient pentru frezarea roţilor dintate cu dinţi drepţi prin metoda rulării cinematice, sau se pot freza canalele elicoidale ale sculelor aschietoare de genul burghielor sau frezelor cilindro-frontale, sau se poate fileta prin frezare o gamă practic nelimitată de filete elicoidale cu profile diverse, filete spirale plane, etc. Dacă modernizăm maşina prin adăugarea unei lire suplimentare pentru roţi de schimb, atunci devine posibilă şi danturarea prin rulare a roţilor dintate cilindrice cu dantura înclinată. Asadar, înalta tehnologicitate nu este apanajul exclusiv al CNC-urilor, ci se poate face şi pe o maşină de frezat universală, care are faţă de CNC mai multe avantaje:

• Maşina universală este mult mai ieftină faţă de CNC;
• Legatura dintre turaţie şi avansul tehnologic beneficiază la maşina unealtă de rigiditatea specifică dată de cutia de viteză şi a celei de avans, precum şi de transmiterea mişcării sincrone cu ajutorul mecanismelor cu roţi de schimb;
• Proiectarea procesului tehnologic durează puţin, este mult mai simplă, şi poate fi făcută şi de o persoană cu cunoştinţe medii de matematică prin intermediul programului în Smath prezentat în acest articol, în timp ce proiectarea unui proces tehnologic pentru un CNC este cel putin la îndemana unui tehnician proiectant cu o experienţă îndelungată în domeniu, dacă nu chiar a unui inginer specializat, în anumite cazuri.

În final ar mai trebui spus că de multe ori trebuie inversat sensul mişcării la arborele secundar unde este transmisă mişcarea. În acest caz se poate utiliza o roată intermediară intercalată între două roţi ale trenului de roţi de schimb utilizate şi avand un număr egal de dinţi fie cu roata antrenoare, fie cu roata antrenată. Astfel pentru soluţia (20'b) se poate realiza montajul din figura 7, unde s-a introdus roata intermediară C' identică cu roata C, între roţile C si D. Raportul total de transmitere nu se va modifica deoarece raportul direct dintre roata C şi intermediara C' este 1. Comparand în detaliu figurile 5 şi 7 se poate constata că sensurile arborelui secundar sunt contrare, pentru un sens orar ales la arborele primar.

Fig. 7 – Montaj pentru soluţia (20'b) cu roată intermediară pentru inversarea sensului de rotaţie la arborele secundar

Parafrazând (şi în acest articol, ca şi în altele) anumite butade care circulă liber în popor, o altfel de concluzie ar fi următoarea. Butada: "Teoria ca teoria, dar practica ne omoară" nu are nici-o aplicaţie aici, dimpotrivă butada obţinută prin inversiune: "Practica ca practica, dar teoria ne omoară" este în mod evident mult mai adecvată în cazul de fată. Altfel spus, în acest caz "Teoria este cea mai bună practică" şi astfel l-am citat (înca odată) pe James C. Maxwell.

BIBLIOGRAFIE:
1 - Masini-Unelte - Emil Botez, vol. II (Organologia si Precizia Masinilor-Unelte) - Editura Tehnica - Bucuresti 1978;

2 - Tabele si Formule Matematice - Ministerul Invatamantului Public - Editura Tehnica - Bucuresti 1953.

Nicolae Olaru