Sari la conținut


O relatie importanta pentru calculul transformatoarelor, dedusa utilizand bazele electrotehnicii



Publicat de ola_nicolas , 19 octombrie 2013 · 1.868 Vizualizari
- - - - -
Imagine atașată
In figura schitata in imagine, este prezentata schema echivalenta simplificata a unui transformator.
Pentru determinarea amplitudinii inducţiei în miez, este necesară evidenţierea unei relaţii analitice din care aceasta să poată fi determinată, astfel încât sa fie pusă în corespondenţă directă cu elementele dimensionale ale miezului magnetic al transformatorului. Vom considera în cele ce urmează că inducţia în miez este origine de fază şi are o variaţie sinusoidala de frecvenţă f oarecare, de forma
Imagine atașată (5.1)
Suprafaţa secţiunii miezului electromagnetic o notăm cu Sc şi pentru formele uzuale ale acestuia o considerăm constantă pe toată lungimea circuitului magnetic. La un miez electromagnetic construit din tole, datorită stratului izolant depus pe una din suprafeţe, aria efectivă a secţiunii miezului este mai mică decât cea obţinută prin măsurarea directă a
dimensiunilor. Suprafaţa reală a miezului în acest caz va fi dată de relaţia
Imagine atașată (5.2)
unde:
Sct este suprafaţa reală a miezului construit din tole, în [m2];
Sc – suprafaţa efectiva a miezului construit din tole, în [m2];
kct – un coeficient (de stocare) subunitar depinzând de grosimea tolei.
Fluxul prin miez va avea de asemenea o forma sinusoidală
Imagine atașată (5.3)
Presupunem ipotetic că sursa de tensiune alternativă U1 din primar este îndepărtată, în timp ce în miez este întreţinut fluxul sinusoidal dat de relaţia (5.3) În aceste condiţii transformatorul devine o sursă primară şi singurul curent prin circuit va fi I'2. În formă sinusoidală curentului I'2 îi corespunde i'2(t) definit de relaţia:
Imagine atașată (5.4)
unde a2, este defazajul dintre curentul raportat în secundar şi inducţie sau flux. Pentru circuitul astfel definit, aportul elementar energetic al fiecărei spire asupra circuitului, este dat de relaţia
Imagine atașată (5.5)
Puterea elementară funcţie de timp cedată de o spiră, circuitului sarcinii, este aşa după cum se ştie derivata funcţie de timp a relaţiei (5.5) şi are forma
Imagine atașată (5.6)
După calcule, avem:
Imagine atașată (5.7)
Valoarea efectivă a mărimii psp2(t) este dată de relaţia
Imagine atașată (5.8)
Considerând densitatea de curent J în [A/m2] pentru numărul total de spire bobinate pe carcasa transformatorului, puterea efectivă va fi P2 în [VA], şi va fi dată de relaţia
Imagine atașată (5.9)
unde SCu reprezintă suprafaţa totală a ferestrei miezului, ocupată de cuprul bobinajului. Notând cu ku, coeficientul de umplere cu bobinaj al ferestrei şi cu Sw aria ferestrei transformatorului în [m2] avem
Imagine atașată (5.9’)
de unde, făcând şi corecţia pentru unităţile de măsură folosite în practică – [T] pentru inductie, [VA] pentru putere, [Hz] pentru frecventă, [A/mm2] pentru densitatea de curent şi [cm4] pentru produsul ariilor – rezultă:
Imagine atașată (5.10)
Observaţie importanta: Daca curentul prin circuit este polifazat, sau daca bobina se repartizeaza in parti egale pe coloanele separate ale unui transformator, atunci în membrul drept al relaţiei (5.9) vom înmulţi cu numărul de faze (m) sau cu numarul de bobine identice pe coloane separate (s) marimi care vor apare ca factor şi la numitorul relaţiei (5.10) şi următoarele.
Din relaţia (5.10) rezultă că valoarea amplitudinii inducţiei în miez va fi cu atât mai mare cu cât puterea efectivă în secundar este mai mare. Ea va creste odată cu micşorarea dimensiunilor miezului electromagnetic prin produsul ScSw precum şi cu micşorarea frecvenţei. Coeficienţii ku, kct, precum şi densitatea de curent J, sunt alte posibilităţi de reglare a valorii amplitudinii inducţiei Bm în miez.
Pentru miezuri electromagnetice masive, precum cele din ferite, coeficientul kct fiind unitar, relaţia (5.10) se va scrie
Imagine atașată (5.11)
Relaţiile (5.10) şi (5.11) au fost determinate pentru o formă sinusoidală a variaţiei inducţiei în miez şi mai sunt cunoscute în literatura de specialitate şi sub forma
Imagine atașată (5.10’)
Imagine atașată (5.11’)
Pentru o alta formă de undă coeficientul 1,11 de la numitor va avea alta valoare, rezultată din operaţiile specifice de derivare – integrare pe care le suportă calculul de deducere utilizat mai sus. Pentru unde rectangulare având factorul de încărcare 0,5 in unele lucrari se recomandă corecţia relaţiilor (5.10) şi (5.11) cu un coeficient având valoarea aproximativa de 0,9 – deci relaţiile (5.10) şi (5.11) se vor scrie:
Imagine atașată (5.10’’)
Imagine atașată (5.11’’)
Produsul ariilor ScSw în [cm4] este specificat de furnizorii de miezuri electromagnetice, sau se poate determina prin măsurare directa şi calcul.
Tinand cont si de observatia importanta de mai sus, relatiile (5.10') si (5.11') devin:
Imagine atașată (5.10'bis)
Imagine atașată (5.11'bis)

Exemplul 1 de determinare a inductiei in miez, utilizand relatia (5.10) Sa se dimensioneze un transformator în manta, având următoarele date iniţiale de proiectare: P2=250 VA; f=50 Hz.
Utilizand relatiile simplificate de dimensionare a miezului, calculam aria sectiunii miezului S'c=√P2=15.81 cm2. Trebuie sa determinam tola (tolele) standardizata EI aplicabila. Exprimam S'c in mm2 si rezulta S'c=1581 mm2. Vom alege sa utilizam tole EI cu grosimea δ=0,35 mm izolate cu carlit, pentru care avem kct=0,955. Pentru puterea P2, se interpoleaza din tabele consacrate un factor de umplere ku=0,311. Se interpoleaza de asemenea o densitate de curent J=2,33 A/mm2. Ideal ar fi un miez de sectiune patrata, cu latura 2a'=√Sc=√1581=39,76 mm. Dimensiunea nominala a tolei, ar trebui sa o gasim in jurul valorii a'=39,76/2=19,88. Ar fi foarte apropiata tola standardizata E20, pentru care a=20 si rezulta o grosime aproximativa a pachetului de tole b'=S'c/2a=1581/40=39,525 mm. Vom alege un numar intreg de tole din relatia ntole=round(b'/δ)=113. Functia round(r), desemneaza cel mai apropiat intreg vecin cu numarul rational r. Astfel putem corecta aria suprafetei miezului din relatia Sc=2aδntole=2x20x0,35x113=1582 mm2, pentru care avem o grosime a pachetului de tole b=δntole=0,35x113=39,55 mm. Marimea b, nu respecta cunoscuta inegalitate dubla 40=2a≤b=39,55≤4a=80, insa este foarte apropiata de limita minima. Pentru tola E20, avem aria ferestrei pentru bobinaj Sw=3a2=12 cm2.
Rationand intr-un mod asemanator ca mai sus, se constata ca se mai poate folosi si tola E18, pentru care vom avea: a=18; b'=S'c/2a=1581/36=43,92 mm; ntole=round(b'/δ)=125; Sc=2aδntole=2x18x0,35x125=1575 mm2; b=δntole=0,35x125=43,75 mm; Sw=3a2=9,72 cm2 se respecta dubla inegalitate 36=2a≤b=43,75≤4a=72. Tot astfel constatam ca s-ar mai putea teoretic utiliza si tola E16, pentru care avem: a=16; b'=S'c/2a=1581/32=49,41 mm; ntole=round(b'/δ)=141; Sc=2aδntole=2x16x0,35x141=1579,2 mm2; b=δntole=0,35x141=49,35 mm; Sw=3a2=7,68 cm2 se respecta dubla inegalitate 32=2a≤b=49,35≤4a=64. In mod logic se vor incepe verificarile cu tola cea mai mica, dupa ce se vor exprima si ariile Sc in cm2. Relatia (5.10) pentru tola E16 se va scrie Bm=50P2/(1,1kukctfJScSw)=50x250/(1,1x0,311x0,955x50x2,33x15,792x7,68)=2,708. Se observa ca inductia in [T] rezultata, este una nerealista, ea depasind limita de saturatie. Eliminam deci din capul locului posibilitatea utilizarii tolei E16. Pentru tola E18, avem: Bm=50P2/(1,1kukctfJScSw)=50x250/(1,1x0,311x0,955x50x2,33x15,75x9,72)=2,145. Acelasi rationament ca la tola E16. Pentru tola E20, avem: Bm=50P2/(1,1kukctfJScSw)=50x250/(1,1x0,311x0,955x50x2,33x15,82x12)=1,73. O asemenea valoare a inductiei in miez, s-ar putea obtine teoretic doar pentru tole silicioase cu textura orientata, laminate la rece. Iata de ce utilizarea unui calcul simplificat la dimensionare, duce cel mai adesea la mari deviatii de la valorile uzuale.
Concluzii:
1 - Rezulta fara posibilitate de tagada ca relatia simplificata S'c=√P2=15.81 cm2, prin care s-a predimensionat aria primitiva a sectiunii miezului nu este adecvata pentru un transformator cu puterea de 250 VA;
2 - In realitate calculul inductiei in miez nu decurge astfel, ci se interpoleaza initial din tabele intocmite pe baze practice o valoare Bm. Dupa ce se stabilesc tot din tabele si celelalte valori necesare, se utilizeaza relatia scrisa sub forma (5.10') Se face apoi rationamentul de stabilire a tolei aplicabile. Cunoscand tola se calculeaza mai intai aria ferestrei pentru bobinaj Sw, dupa care Produsul ScSw calculat cu relatia (5.10') se imparte la Sw. Rezulta aria sectiunii miezului (Sc) necesara transformatorului.

Exemplul 2 de determinare a parametrilor geometrici ai miezului, utilizand relatia (5.10') Sa se dimensioneze un transformator în manta, având aceleasi date iniţiale de proiectare ca la exemplul 1.
Din tabele consacrate, se stabileste prin interpolare, ca valoarea inductiei adecvata unui transformator cu puterea de 250 VA este Bm=1,15 T. Vom alege sa utilizam tole EI cu grosimea δ=0,35 mm izolate cu carlit, pentru care avem kct=0,955. Pentru puterea P2, se interpoleaza din tabele consacrate un factor de umplere ku=0,311. Se interpoleaza de asemenea o densitate de curent J=2,33 A/mm2. Din relatia (5.10') avem ScSw=50Bm/(1,11kukctBmJ)=50x250/(1,11x0,311x0,955x1,15x50x2,33)=283 cm4. Trebuie sa determinam tola (tolele) standardizata EI aplicabila. Din tabele prestabilite, constatam ca produsul ariilor cu valoarea de 283 cm4, se incadreaza intre tolele E18 si E20, mai aproape de tola E20, avand a=20 mm. Un astfel de tabel se poate gasi in lucrarea Stelian Lozneanu & Laczco Arpad - Memoratorul Radiotehnicianului - Editura Junimea Iasi 1985. Aria ferestrei pentru bobinaj la tola E20, este Sw=3a2=12 cm2. Rezulta aria primitiva a sectiunii miezului S'c=ScSw/Sw=283/12=23,58 cm2. Calculam grosimea primitiva a pachetului de tole b'=S'c/2a=2358/2x20=58,95 mm. Calculam numarul de tole necesare ntole=round(b'/δ)=round(58,95/0,35)=168. Calculam grosimea efectiva a pachetului de tole b=δntole=0,35x168=58,8 mm. Constatam ca marimea b respecta cunoscuta inegalitate dubla 40=2a≤b=58,8≤4a=80. Calculam aria efectiva a pachetului de tole Sc=2ab=2x20x58,8=2352 mm2 =23,52 cm2. Se observa diferenta mare dintre suprafata determinata cu ajutorul relatiei simplificate de la exemplul 1 si cea de aici. Dupa determinarea in continuare a numarului de spire si a dimensiunilor conductorilor de bobinaj, urmeaza un calcul pentru verificarea incadrarii bobinajului in fereastra.

Exemplul 3 Sa se dimensioneze miezul unui transformator de retea (U1=220 V; f=50 Hz) utilizat la un letcon cu ansa, avand o putere totala secundara P2=104,6 VA. Se procedeaza la fel ca la exemplul 2.
Din tabele consacrate, se stabileste prin interpolare, ca valoarea inductiei adecvata unui transformator cu puterea de 104,6 VA este Bm=1,172 T. Vom alege sa utilizam tole EI cu grosimea δ=0,35 mm izolate cu carlit, pentru care avem kct=0,955. Pentru puterea P2, se interpoleaza din tabele consacrate un factor de umplere ku=0,248. Se interpoleaza de asemenea o densitate de curent J=3,044 A/mm2.
Din relatia (5.10') avem ScSw=50Bm/(1,11kukctBmJ)=50x104,6/(1,11x0,248x0,955x1,183x50x3,105)=111,748 cm4. Trebuie sa determinam tola (tolele) standardizata EI aplicabila. Din tabele prestabilite, constatam ca produsul ariilor cu valoarea de 111,748 cm4, se incadreaza intre tolele E14 si E16, mai aproape de tola E16, avand a=16 mm. Ne oprim de asta data sa examinam cele doua tole care teoretic ar putea fi folosite si constatam ca nu este convenabila utilizarea nici uneia dintre ele. Stim din practica, ca cea mai mare tola avand dimensiunile adecvate constructiei unui pistol de lipit cu ansa, este tola E8. Avand in vedere ca transformatorul va functiona intr-un regim de intermitenta destul de lejer, vom forta parametrii Bm si J, astfel incat sa ne incadram cu produsul ScSw in intervalul dintre tolele E8 si E10, adica vom cauta sa obtinem o valoare 7,38≤ScSw≤18. In acest scop, mergem cu valoarea inductiei electromagnetice pana la Bm=1,4 T, valoare maximum utilizabila pentru tole romanesti laminate la cald. Pentru densitatea de curent, luam o valoare J=15 A/mm2. Prin utilizarea unor materiale izolatoare mai subtiri la constructia carcasei, precum si renuntand la izolatia dintre straturi, se poate prelimina un factor de umplere mai mare. Luam deci pentru factorul de umplere valoarea ku=0,265. De altfel, asa dupa cum se va vedea in viitor, cu ocazia dezvoltarii altor aspecte ale calculului, in functie de factorul de umplere practic obtinut, valorile recalculate atat ale inductiei Bm, cat si ale Densitatii de curent J, pot scadea la valori mai mici.
Recalculam produsul ariilor si avem ScSw=50Bm/(1,11kukctBmJ)=50x104,6/(1,11x0,265x0,955x1,4x50x15)=17,731 cm4. Fortam in continuare si alegem sa utilizam tola E8, chiar daca Produsul ariilor se afla mai aproape de tola E10. Aria ferestrei pentru bobinaj la tola E8, este Sw=3a2=1,92 cm2. Rezulta aria primitiva a sectiunii miezului S'c=ScSw/Sw=17,731/1,92=9,23 cm2. Calculam grosimea primitiva a pachetului de tole b'=S'c/2a=923/2x8=57,688 mm. Calculam numarul de tole necesare ntole=round(b'/δ)=round(57,688/0,35)=165. Calculam grosimea efectiva a pachetului de tole b=δntole=0,35x165=57,75 mm. Constatam ca marimea b nu respecta cunoscuta inegalitate dubla 16=2a≤b=57,75≤4a=32, dar intrucat am folosit un sir de fortari, nu mai are nici o importanta. Calculam aria efectiva a pachetului de tole Sc=2ab=2x8x57,75=924 mm2 =9,24 cm2. La un calcul concret, dupa determinarea in continuare a numarului de spire si a dimensiunilor conductorilor de bobinaj, precum si dupa calculul pentru verificarea incadrarii bobinajului in fereastra, am obtinut pentru acest transformator o solutie avand: Bm=1,29 T, J=14,582 A/mm2, ku=0,296, b=57,75 si Sc=8,819 cm2, cu un factor de utilizarea ferestrei (aria ocupata de bobinaj / aria ferestrei) de υ=0,799, adica incadrabil in domeniul optimului tehnologic de productie de serie mare a transformatorului.

Nicolae Olaru, alias ola_nicolas
  • suntonlain ii(le) place mesajul asta



Poză
politehnica
oct 20 2013 02:46
Ne puteti prezenta si tabelele aferente cu ku si kct ?
Poză
ola_nicolas
oct 20 2013 04:46
Deducerea formulelor in cauza, face parte dintr-un articol foarte larg ca intindere, despre proiectarea transformatoarelor in regim de hobby, printr-un calcul grafo-analitic complet. Am decis cu mai mult timp in urma, ca nu este inca oportuna publicarea sa datorita pozitiei cvasi-unanime a utilizatorilor de a se descotorosi (daca este posibil) de orice fel de calcul. Foarte multi renunta chiar si la acel calcul rudimentar de simplificat si vin pe diverse topicuri cu chestiuni de genul "vreau mura-n gura". Ca structura, capitolul prezentat aici poarta numarul 5 in articol si nu 1. Am inceput cu el, deoarece foarte multi au contestat atat existenta formulelor in cauza, cat si corectitudinea lor ca provenienta analitica, declarand ca sut empirice si fara legatura cu realitatea tehnica. Cine are o minima competenta fizico-matematica, va intelege citind aceasta prima intrare in blog, ca nu este asa. Am sa continui si in viitor sa public in blog parti (capitole) ale articolului, unde exista si date interesante despre factorii de umplere si cei de stocare a tolelor.

Cei care urmaresc temele publicate pe blogul subsemnatului, pot sa le coreleze si cu intrarile din blogul http://www.elforum.r...nicolas-blogul/
Apropos de problemele ridicate de @politehnica, la legatura de mai sus se pot gasi informatii despre coeficientul kct si exemple de calcul utile.
    • Paul-Adrian, suntonlain și oldmanelectronic like this
emil.matei.ro Cel mai cuprinzator director romanesc